10.2: Transformaciones generales y canónicas
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
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\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
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\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
En el enfoque hamiltoniano, estamos en el espacio de fases con un sistema de coordenadas que tiene posiciones y momentos en igualdad de condiciones. Por lo tanto, es posible pensar en transformaciones más generales que en la transformación puntual (que se restringió a las coordenadas de posición).
Podemos tener transformaciones que mezclen variables de posición e impulso:
\ begin {ecuación}
Q_ {i} =Q_ {i}\ izquierda (p_ {i}, q_ {i}, t\ derecha),\ quad P_ {i} =P_ {i}\ izquierda (p_ {i}, q_ {i}, t\ derecha)
\ end {ecuación}
donde\ (\ begin {ecuación}
\ left (p_ {i}, q_ {i}\ right)
\ end {ecuación}\) significa el conjunto completo de las variables originales.
En esas variables originales, las ecuaciones de movimiento tenían la bonita forma canónica de Hamilton,
\ begin {ecuación}
\ punto {q} _ _ {i} =\ dfrac {\ H parcial} {\ p_ parcial {i}},\ quad\ punto {p} _ _ {i} =-\ dfrac {\ H parcial} {\ parcial q_ {i}}
\ final {ecuación}
Las cosas no suelen ser tan simples en las nuevas variables, pero sí resulta que muchas de las transformaciones “naturales” que surgen en la dinámica, como la que corresponde a avanzar en el tiempo, sí conservan la forma de las ecuaciones canónicas de Hamilton, es decir
\ begin {ecuación}
\ punto {Q} _ _ {i} =\ parcial H^ {\ prime}/\ parcial P_ {i},\ quad\ punto {P} _ _ {i} =-\ parcial H^ {\ prime}/\ parcial Q_ {i},\ texto {para el nuevo} H^ {\ prime} (P, Q).
\ end {ecuación}
Se dice que una transformación que conserva la forma canónica de las ecuaciones de Hamilton es canónica.
(Nota jerga: estas transformaciones se denominan ocasionalmente transformaciones de contacto.)