10.3: Generando funciones para transformaciones canónicas

En esta sección, volvemos a considerar la acción completa (no la acción abreviada —energía fija— utilizada anteriormente).

Ahora, hemos establecido que las ecuaciones de Hamilton en la parametrización original siguen de minimizar la acción en la forma

\ begin {ecuación}
\ delta\ int\ izquierda (\ suma_ {i} p_ {i} d q_ {i} -H d t\ derecha) =0
\ end {ecuación}

Para una transformación canónica, por definición las nuevas variables también deben satisfacer las ecuaciones de Hamilton, por lo que, trabajando hacia atrás, la minimización de la acción debe ser expresable en las nuevas variables exactamente como en las antiguas:

\ begin {ecuación}
\ delta\ int\ izquierda (\ suma_ {i} P_ {i} d Q_ {i} -H^ {\ prime} d t\ derecha) =0
\ end {ecuación}

Ahora, ya hemos afirmado anteriormente que dos acciones conducen a las mismas ecuaciones de movimiento si los integrandos difieren por el diferencial total de alguna función F de coordenadas, momento y tiempo. (Eso es porque al agregar tal función al integrando, la contribución de la función a la integral es solo la diferencia entre sus valores en los dos extremos (fijos), por lo que al variar el camino entre los extremos para minimizar la integral total y así generar las ecuaciones de movimiento, este diferencial exacto \(dF\)no hace ninguna contribución.)

Es decir, las dos integrales de acción se minimizarán en la misma trayectoria a través del espacio de fase siempre que los integrands difieran en un diferencial exacto:

\ begin {ecuación}
\ suma_ {i} p_ {i} d q_ {i} -H d t=\ suma_ {i} P_ {i} d Q_ {i} -H^ {\ prime} d t+d F
\ final {ecuación}

\(F\)se llama la función generadora de la transformación. Reordenando la ecuación anterior,

\ begin {ecuación}
d F=\ suma_ {i} p_ {i} d q_ {i} -\ suma_ {i} P_ {i} d Q_ {i} +\ izquierda (H^ {\ prime} -H\ derecha) d t
\ end {ecuación}

Observe que los diferenciales aquí son\ (\ begin {ecuación}
d q_ {i}, d Q_ {i}, d t
\ end {ecuación}\) así que estas son las variables naturales para expresar la función generadora.

Por lo tanto, lo escribiremos como\ (\ begin {ecuación}
F (q, Q, t)
\ end {ecuación}\),

y de la expresión para\ (\ begin {ecuación}
d F
\ end {ecuación}\) anterior,

\ begin {ecuación}
p_ {i} =\ frac {\ parcial F (q, Q, t)} {\ parcial q_ {i}},\ quad P_ {i} =-\ frac {\ parcial F (q, Q, t)} {\ parcial Q_ {i}},\ quad H^ {\ prime} =H+\ frac {\ F parcial (q, Q, t)} {\ t parcial}
\ final {ecuación}

Volvamos a enfatizar aquí que una transformación canónica mezclará en general coordenadas y momento, son el mismo tipo de variable, desde esta perspectiva hamiltoniana. Incluso se pueden intercambiar: por un sistema con un grado de libertad, por ejemplo, la transformación

\ begin {ecuación}
q=p,\ quad p=-q
\ end {ecuación}

es una transformación canónica perfectamente buena (echa un vistazo a las ecuaciones de Hamilton en las nuevas variables), a pesar de que convierte una posición en un impulso y viceversa!

Si esta transformación particular se aplica a un oscilador armónico simple, el hamiltoniano sigue siendo el mismo (estamos tomando\ (\ begin {ecuación}
H=\ frac {1} {2}\ left (p^ {2} +q^ {2}\ right)
\ end {ecuación}\) así que el diferencial\(dF\) de la función generadora (dada anteriormente) no tiene\ (\ begin {equation}
H^ {\ prime} -H
\ end {equation}\) término, es solo

\ begin {ecuación}
d F (q, Q) =p d q-p d Q
\ end {ecuación}

La función generadora para esta transformación se encuentra fácilmente para ser

\ begin {ecuación}
F (q, Q) =Q q
\ end {ecuación}

de la cual

\ begin {ecuación}
d F=Q d q+q d q=p d q-p d Q
\ final {ecuación}

según se requiera.

Otra transformación canónica para un oscilador armónico simple es\ (\ begin {ecuación}
q=\ sqrt {2 P}\ sin Q,\ quad p=\ sqrt {2 P}\ cos Q
\ end {ecuación}\). Investigarás esto en la tarea.