11.1: Caminos en Espacios de Fase Simple - el SHO y Cuerpos Caídas

Primero pensemos más en los caminos en el espacio de fases. Por ejemplo, el oscilador armónico simple, con hamiltoniano\ (\ begin {ecuación}
h=P^ {2}/2 m+m\ omega^ {2} q^ {2}/2
\ end {ecuación}\) describe círculos en el espacio de fase parametrizados con las variables\ (\ begin {ecuación}
(p, m\ omega q)
\ end {ecuación}\). (Una notación más habitual es escribir el término potencial como\ (\ begin {ecuación}
\ frac {1} {2} k q^ {2}
\ end {ecuación}\)

Pregunta: ¿son estos círculos los únicos caminos posibles que debe seguir el oscilador?

Respuesta: sí: cualquier otro camino cruzaría un círculo, y en ese punto, con tanto la posición como la velocidad definidas, solo hay un camino hacia adelante (y hacia atrás) en el tiempo posible, por lo que la intersección no puede ocurrir.

Aquí hay un ejemplo de Taylor de caminos en el espacio de fase: cuatro cuerpos idénticos que caen se liberan simultáneamente, ver figura, x mide la distancia verticalmente hacia abajo. Dos se liberan con impulso cero desde el origen O y desde un punto\ (\ begin {ecuación}
x_ {0}
\ end {ecuación}\) metros hacia abajo, los otros dos se liberan con momenta inicial\ (\ begin {ecuación}
p_ {0}
\ end {ecuación}\) nuevamente desde los puntos O,\ (\ begin { ecuación}
x_ {0}
\ final {ecuación}\)

(Obsérvese la diferencia en la pendiente inicial.)

Comprobar: convencerse de que todos estos caminos son partes de parábolas centradas en el eje x. (Así como el simple espacio de fase del oscilador armónico está lleno de trayectorias circulares, éste está lleno de parábolas).

Los cuerpos liberados con la misma velocidad inicial al mismo tiempo mantendrán la misma distancia vertical separados, los liberados con diferentes velocidades iniciales mantendrán la misma diferencia de velocidad, ya que todos aceleran a g. Por lo tanto, el área del paralelogramo formada por los cuatro puntos de espacio de fase en un momento posterior tendrá la misma área que el cuadrado inicial.

Ejercicio: convencerse de que todos los puntos de un lado vertical inicial de la plaza permanecen todos alineados a medida que pasa el tiempo, a pesar de que la línea no se mantiene vertical.

Los cuatro lados del cuadrado se deforman con el tiempo a los cuatro lados del paralelogramo, punto por punto. Esto significa que si tenemos una piedra que cae correspondiente inicialmente a un punto dentro del cuadrado, irá a un punto dentro del paralelogramo, porque si de alguna manera su trayectoria alcanzara el límite, tendríamos dos caminos en el espacio de fase que se cruzan, y una partícula en un punto en el espacio de fase tiene una definición única camino futuro (y pasado).