11.2: Siguiendo muchos sistemas: un “gas” en el espacio de fase
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Hemos mirado cuatro caminos en el espacio de fase, correspondientes a cuatro cuerpos que caen, todos comenzando en\ (\ begin {ecuación}
t=0
\ end {ecuación}\), pero con diferentes coordenadas iniciales en\ (\ begin {ecuación}
(p, x)
\ end {ecuación}\) Supongamos que ahora tenemos muchos cuerpos que caen, de manera que en t=0 una región del espacio de fase puede imaginarse como llena de un “gas” de puntos, cada uno representando un cuerpo descendente, inicialmente en\ (\ begin {ecuación}
\ left (p_ {i}, x_ {i}\ right),\ quad i=1,\ ldots, N
\ end {ecuación}\)
El argumento anterior sobre la trayectoria del espacio de fase de un punto dentro del cuadrado en t=0 que permanece dentro del cuadrado a medida que pasa el tiempo y el cuadrado se distorsiona a un paralelogramo también debe ser cierto para cualquier sistema dinámico, y cualquier volumen cerrado en el espacio de fase, ya que depende de trayectorias del espacio de fase que nunca se cruzan: es decir ,
si a t = 0 alguna superficie cerrada en el espacio de fase contiene varios puntos del gas, esos mismos puntos permanecen dentro de la superficie a medida que se desarrolla en el tiempo — ninguno sale o entra.
Para el número de puntos N suficientemente grande, el desarrollo espacio-tiempo de fase se parece al flujo de un fluido.