11.9: Gradiente de energía y velocidad espacial de fase

Para un hamiltoniano independiente del tiempo, el camino en el espacio de fase\((q,p)\) es una línea de energía constante, y podemos pensar en todo el espacio de fase como lo delinean muchas de esas líneas, exactamente análogas a las líneas de contorno que unen puntos al mismo nivel en un mapa de terreno irregular, energía correspondiente a la altura sobre el mar nivel. El gradiente en cualquier punto, el vector apuntando exactamente cuesta arriba y por lo tanto perpendicular a la trayectoria de energía constante, es

\ begin {ecuación}
\ vec {\ nabla} H =(\ H parcial/\ q parcial,\ H parcial/\ p parcial)
\ final {ecuación}

aquí\(H=E\). La velocidad del punto de un sistema que se mueve a través del espacio de fase es

\ begin {ecuación}
\ vec {v} =(\ punto {q},\ punto {p}) =(\ H parcial/\ p parcial, -\ H parcial/\ q parcial)
\ final {ecuación}

Este vector es perpendicular al vector de gradiente, ya que debe ser, por supuesto, ya que el sistema se mueve a lo largo de una trayectoria de energía constante. Pero, curiosamente, ¡tiene la misma magnitud que el vector gradiente! ¿Cuál es el significado de eso? Imagine un pequeño cuadrado intercalado entre dos trayectorias espaciales de fase cercanas entre sí en energía, y supongamos que la distancia entre las dos trayectorias es decreciente, por lo que el cuadrado se está exprimiendo, a una tasa igual a la tasa de cambio del gradiente de energía. Pero al mismo tiempo debe estar estirándose a lo largo de la dirección de la trayectoria, una cantidad igual a la velocidad de cambio de la velocidad espacial de fase a lo largo de la trayectoria, y son iguales. Entonces, esto es solo Liouville otra vez, su área no cambia.