11.8: Prueba más simple del teorema de Liouville

La prueba de Landau dada anteriormente es extremadamente elegante: dado que los caminos del espacio de fase no pueden cruzarse, el punto dentro de un volumen permanece dentro, no importa cómo se contorsiona el volumen, y dado que el desarrollo del tiempo es una transformación canónica, el volumen total, dado al integrar elementos sobre volumen\(dqdp\), permanece igual, ya que es una integral sobre los elementos de volumen correspondientes\(dQdP\) y lo acabamos de demostrar\(dQdP=dqdp\).

Aquí tomaremos un punto de vista ligeramente diferente: veremos un pequeño cuadrado en el espacio de fases y rastrearemos cómo se mueven sus bordes, para demostrar que su volumen no está cambiando. (Nos apegaremos a una dimensión, pero la generalización es sencilla.)

Los puntos aquí representan un “gas” de muchos sistemas en el espacio de\((q,p)\) fase bidimensional, y con una pequeña área cuadrada\(\Delta q, \Delta p\) etiquetada al tener todos los sistemas en su límite representados por puntos de un color diferente. ¿Cuál es el cambio incremental en el área de esta pieza inicialmente cuadrada de espacio de fase en el tiempo\(dt\)?

Empezar por el borde superior: todas las partículas se mueven con velocidades\((\dot{q}, \dot{p})\) pero por supuesto el único cambio de área proviene del\(\dot{p}\) término, ese es el movimiento hacia afuera del límite, por lo que el área cambiará\(dt\) desde el movimiento de este límite será\(\dot{p} \Delta q d t\). En tanto, habrá un término similar desde el borde inferior, y la contribución neta, superior más bordes inferiores, dependerá del cambio de abajo hacia arriba, es decir, un cambio de área neta a partir del movimiento de estos bordes\((\partial \dot{p} / \partial p) \Delta p \Delta q d t\).\(\dot{p}\)

Añadiendo en los otros dos bordes (los lados), con un argumento exactamente similar, el cambio de área total es

(\ parcial\ punto {p}/\ parcial p+\ parcial\ punto {q}/\ parcial q)\ Delta p\ Delta q d t

Pero a partir de las ecuaciones de Hamilton\(\dot{p}=\partial H / \partial q, \quad \dot{q}=-\partial H / \partial p, \text { so }\)

\(\partial \dot{p} / \partial p=\partial^{2} H / \partial p \partial q, \quad \partial \dot{q} / \partial q=-\partial^{2} H / \partial p \partial q\)

y por lo tanto

\(\partial \dot{p} / \partial p+\partial \dot{q} / \partial q=0\)

estableciendo que el cambio de área incremental total a medida que el cuadrado se distorsiona es cero.

La conclusión es que el flujo del gas de los sistemas en el espacio de fase es como un fluido incompresible, pero con una calificación importante: ¡la densidad puede variar con la posición! Simplemente no varía a lo largo de un camino dinámico.