12.1: Volver al Espacio de Configuración...

Hemos establecido que la acción, considerada como una función de sus puntos finales de coordenadas y tiempo, satisface

\ begin {ecuación}
\ parcial S\ izquierda (q_ {i}, t\ derecha)/\ parcial t+h (q, p, t) =0
\ end {ecuación}

y al mismo tiempo\(p_{i}=\partial S\left(q_{i}, t\right) / \partial q_{i}, \text { so } S\left(q_{i}, t\right)\) obedece la ecuación diferencial de primer orden

\ begin {ecuación}
\ frac {\ parcial S} {\ parcial t} +H\ izquierda (q_ {1},\ ldots, q_ {s};\ frac {\ parcial S} {\ parcial q_ {1}},\ ldots,\ frac {\ parcial S} {\ parcial q_ {s}}; t\ derecha) =0
\ final {ecuación}

Esta es la ecuación de Hamilton-Jacobi.

¡Observe que ahora estamos de vuelta en el espacio de configuración!

Por ejemplo, la ecuación de Hamilton-Jacobi para el oscilador armónico simple en una dimensión es

\ begin {ecuación}
\ frac {\ parcial S (x, t)} {\ t parcial} +\ frac {1} {2} x^ {2} +\ frac {1} {2}\ izquierda (\ frac {\ parcial S (x, t)} {\ parcial x}\ derecha) ^ {2} =0
\ final {ecuación}

(Observe que esto tiene cierto parecido con la ecuación de Schrödinger para el mismo sistema.)

Si el hamiltoniano no tiene dependencia explícita del tiempo\(\partial S / \partial t+H(q, p)=0 \text { becomes just } \partial S / \partial t=-E\) entonces la acción tiene la forma\(S=S_{0}(q)-E t\), y la ecuación Hamilton-Jacobi es

\ begin {ecuación}
H\ izquierda (q_ {1},\ ldots, q_ {s};\ frac {\ parcial S} {\ parcial q_ {1}},\ ldots,\ frac {\ parcial S} {\ parcial q_ {s}}\ derecha) =E
\ final {ecuación}

(Esto es análogo a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para los autoestados de energía).

Por lo tanto, la ecuación de Hamilton-Jacobi es una tercera descripción completa de la dinámica, equivalente a las ecuaciones de Lagrange y a las ecuaciones de Hamilton.

Ya que\(S\) sólo aparece diferenciado, si tenemos una solución a la ecuación, siempre podemos agregar un término constante arbitrario, para dar una solución igualmente válida. Para el caso general, habrá otras constantes de integración, por lo que una solución completa tiene la forma

\ begin {ecuación}
S\ left (q_ {i}, t\ right) =f\ left (t, q_ {1},\ ldots, q_ {s};\ quad\ alpha_ {1},\ ldots,\ alpha_ {s}\ right) +A
\ end {ecuación}

los α y\(A\) siendo las constantes de integración. No estamos diciendo que sea fácil resolver este diferencial en general, solo que sabemos cuántas constantes de integración debe haber en una solución final. Dado que la acción determina completamente el movimiento del sistema, las constantes de integración estarán determinadas por las coordenadas iniciales y finales dadas, o bien, podrían considerarse igualmente como funciones de las coordenadas y momentos iniciales (estando determinados los momentos iniciales mismos por la inicial dada y coordenadas finales).