12.2: El papel central de estas constantes de integración

Para describir el desarrollo temporal de un sistema dinámico de la manera más sencilla posible, es deseable encontrar parámetros que sean constantes o cambien de manera sencilla. Por ejemplo, el movimiento en un potencial esféricamente simétrico se describe en términos de componentes de momento angular (constantes).

Ahora bien, estas constantes\(α\) son funciones de las coordenadas iniciales y momenta. Al permanecer constantes durante el movimiento, evidentemente se encuentran entre las “variables” que describen el desarrollo dinámico de la manera más sencilla posible. Entonces, necesitamos construir una transformación canónica desde nuestro conjunto actual de variables (coordenadas finales y momenta) a un nuevo conjunto de variables que incluya estas constantes de integración “momenta”. (Las “posiciones” canónicas correspondientes se darán entonces diferenciando la función generadora con respecto a la “momenta”.)

¿Cómo encontramos la función generadora para esta transformación? Una pista viene de una que ya hemos discutido: la correspondiente al desarrollo en el tiempo, pasando del conjunto inicial de variables al conjunto final, o atrás. Esa transformación fue generada por la propia acción, expresada en términos de los dos conjuntos de posiciones. Es decir, permitimos que ambos extremos de la ruta integral de acción varíen, y escribimos la acción en función de las variables finales (2) e inicial (1) y los tiempos de punto final:

\ begin {ecuación}
d S\ left (q_ {i} ^ {(2)}, t_ {2}, q_ {i} ^ {(1)},\ quad t_ {1}\ derecha) =\ suma_ {i} p_ {i} ^ {(2)} d q_ {i} ^ {(2)} -H^ {(2)} d t_ {2} -\ suma_ {i} p_ {i} ^ {(1)} d q_ {i} ^ {(1)} +H^ {(1)} d t_ {1}
\ end {ecuación}

En la presente sección, las posiciones finales finales se denotan simplemente por\(t, q_{1}, \ldots, q_{s}\) estas son las mismas que las anteriores\(t_{2}, q_{1}^{(2)}, \ldots, q_{s}^{(2)}\). Explícitamente, estamos escribiendo

\ begin {ecuación}
S\ left (q_ {i} ^ {(2)}, t_ {2}, q_ {i} ^ {(1)}, t_ {1}\ derecha)\ equiv S\ izquierda (q_ {1},\ ldots, q_ {s}, t, q_ {1} ^ {(1)},\ ldots q_ {s} ^ {(1)}, t_ {1}\ derecha)
\ end {ecuación}

Compara esta expresión para la acción con la expresión formal que acabamos de derivar de la ecuación de Hamilton Jacobi,

\ begin {ecuación}
S\ left (q_ {1},\ ldots, q_ {s}, t\ right) =f\ left (q_ {1},\ ldots, q_ {s}, t;\ quad\ alpha_ {1},\ ldots,\ alpha_ {s}\ right) +A
\ end {ecuación}

Estas dos expresiones para\(S\) tienen la misma forma: la acción se expresa como una función de las variables de posición del punto final, más otras\(s\) variables necesarias para determinar el movimiento de manera única. Esta vez, en lugar de las variables de posición originales, sin embargo, el segundo conjunto de variables son estas constantes de integración, las\(\alpha_{i}\)'s.

Ahora, así como mostramos la acción que generó la transformación (de cualquier manera) entre el conjunto inicial de coordenadas y momenta y el conjunto final, también generará una transformación canónica desde el conjunto final de coordenadas y momenta a otro conjunto canónico, teniendo los\(\alpha\)'s como el nuevo “momenta”. Etiquetaremos las nuevas “coordenadas” (los conjugados canónicos de los\(\alpha\)'s\(\beta_{1}, \ldots, \beta_{s}\)

Tomando entonces la acción (descuidando la constante\(A\) que no hace nada)\(S=f\left(t, q_{1}, \ldots, q_{s} ; \quad \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{s}\right)\) como función generadora, depende de las viejas coordenadas\(q_{i}\) y del nuevo momento\(\alpha_{i}\). Este es el mismo conjunto de variables —coordenadas antiguas y nuevo momento— que las de la función generadora (discutida anteriormente)\(\Phi(q, P, t)\).

Recordar

\ begin {ecuación}
d\ Phi (q, P, t) =p d q+q d P+\ izquierda (H^ {\ prime} -H\ derecha) d t
\ end {ecuación}

así que aquí

\ begin {ecuación}
d f\ izquierda (q_ {i},\ alpha_ {i}, t\ derecha) =p_ {i} d q_ {i} +\ beta_ {i} d\ alpha_ {i} +\ izquierda (H^ {\ prime} -H\ derecha) d t
\ end {ecuación}

y

\ begin {ecuación}
p_ {i} =\ parcial f/\ parcial q_ {i},\ quad\ beta_ {i} =\ parcial f/\ parcial\ alpha_ {i},\ quad H^ {\ prime} =H+\ f parcial/\ t parcial
\ final {ecuación}

Esto define las nuevas “coordenadas”\ (\ begin {ecuación}
\ beta_ {i}
\ end {ecuación}\) y asegura que la transformación es canónica.

Para encontrar el nuevo hamiltoniano\ (\ begin {ecuación}
H^ {\ prime},\ text {necesitamos encontrar}\ parcial f/\ parcial t\ texto {y agregarlo a} H
\ end {ecuación}\).

Pero

\ begin {ecuación}
S\ left (q_ {i}, t\ right) =f\ left (t, q_ {1},\ ldots, q_ {s};\ quad\ alpha_ {1},\ ldots,\ alpha_ {s}\ right) +A
\ end {ecuación}

donde\(A\) es solo una constante, entonces

\ begin {ecuación}
\ parcial f/\ parcial t=\ parcial S/\ t parcial
\ final {ecuación}

La primera ecuación en esta sección fue

\ begin {ecuación}
\ parcial S/\ parcial T+h (q, p, t) =0
\ final {ecuación}

por lo que el nuevo hamiltoniano

\ begin {ecuación}
H^ {\ prime} =H+\ parcial f/\ parcial t=H+\ parcial S/\ parcial t=0
\ final {ecuación}

¡Hemos hecho una transformación canónica que ha llevado a un hamiltoniano cero!

¿Qué significa eso? Significa que ni el nuevo momento ni las nuevas coordenadas varían en el tiempo:

\ begin {ecuación}
\ punto {\ alfa} _ {i} =\ izquierda [H,\ alfa_ {i}\ derecha] =0,\ punto {\ beta} _ {i} =\ izquierda [H,\ beta_ {i}\ derecha] =0
\ final {ecuación}

(El hecho de que todos los momentos y coordenadas estén fijos en esta representación no significa que el sistema no se mueve, como se hará evidente en el siguiente ejemplo simple, las coordenadas originales son funciones de estos nuevos (¡no variables!) variables y tiempo.)

Las\(s\) ecuaciones se\(\partial f / \partial \alpha_{i}=\beta_{i}\) pueden utilizar entonces para encontrar las funciones\(q_{i}\) as de\(\alpha_{i}, \beta_{i}, t\) Para ver cómo funciona todo esto, es necesario trabajar a través de un ejemplo.

Un simple ejemplo de la ecuación de Hamilton-Jacobi: Movimiento bajo gravedad

El hamiltoniano para el movimiento bajo gravedad en un plano vertical es

\ begin {ecuación}
H=\ frac {1} {2 m}\ izquierda (p_ {x} ^ {2} +p_ {z} ^ {2}\ derecha) +m g z
\ final {ecuación}

por lo que la ecuación de Hamilton-Jacobi es

\ begin {ecuación}
\ frac {1} {2 m}\ izquierda (\ izquierda (\ frac {\ parcial S (x, z, t)} {\ parcial x}\ derecha) ^ {2} +\ izquierda (\ frac {\ parcial S (x, z, t)} {\ parcial z}\ derecha) ^ {2}\ derecha) +m g z+\ frac {parcial\ S (x, z, t)} {\ t parcial} =0
\ final {ecuación}

Primero, este hamiltoniano no tiene una dependencia explícita del tiempo (¡la gravedad no está cambiando!) , así de\(\partial S / \partial t+H(q, p)=0=\partial S / \partial t+E\), podemos sustituir el último término en la ecuación por\(-E\).

Una simple separación de variables

Dado que el término de energía potencial depende solo de\(z\), la ecuación es solucionable usando la separación de variables. Para ver que esto funciona, prueba

\(S(x, z, t)=W_{x}(x)+W_{z}(z)-E t\)

Poniendo esta forma en la ecuación, el primer término resultante depende únicamente de la variable\(x\), el segundo más tercero dependen sólo de\(z\), el último término es solo la constante\(−E\). Una función que depende solo de\(x\) puede igualar a una función independiente de\(x\) si ambas son constantes, de manera similar para\(z\).

Etiquetado de las constantes\(\alpha_{x}, \alpha_{z}\)

\(\frac{1}{2 m}\left(\frac{d W_{x}(x)}{d x}\right)^{2}=\alpha_{x}, \quad \frac{1}{2 m}\left(\frac{d W_{z}(z)}{d z}\right)^{2}+m g z=\alpha_{z}, \quad E=\alpha_{x}+\alpha_{z}\)

Entonces estas\(α\) son constantes del movimiento, son nuestra nueva “momenta” (aunque tienen dimensiones de energía).

Resolviendo,

W_ {x} (x) =\ pm x\ sqrt {2 m\ alfa_ {x}},\ quad W_ {z} (z) =\ pm\ sqrt {\ frac {8} {9 m g^ {2}}}\ izquierda (\ alpha_ {z} -m g z\ derecha) ^ {3/2}

(Podríamos agregar constantes de integración, pero agregar constantes a la acción no cambia nada.)

Así que ahora tenemos

\(S=S\left(x, z, \alpha_{x}, \alpha_{z}, t\right)=W_{x}\left(x, \alpha_{x}\right)+W_{z}\left(z, \alpha_{z}\right)-\left(\alpha_{x}+\alpha_{z}\right) t\)

Esta es nuestra función generadora (equivalente a\(\Phi(q, P, t)\)), en términos de viejas coordenadas y estos nuevos “momenta”,\(\boldsymbol{\alpha}_{x}, \boldsymbol{\alpha}_{z}\) Siguiendo el análisis Hamilton-Jacobi, esta acción generará una transformación canónica que reduce a cero lo hamiltoniano, lo que significa que no solo estos nuevos momentos permanecen constantes, pero también lo hacen sus variables conjugadas de “coordenadas”,

\(\beta_{x}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{x}}=\pm x \sqrt{\frac{m}{2 \alpha_{x}}}-t, \quad \beta_{z}=\frac{\partial S}{\partial \alpha_{z}}=\pm \sqrt{\frac{2\left(\alpha_{z}-m g z\right)}{m g^{2}}}-t\)

Estas ecuaciones resuelven el problema. Reordenando, la trayectoria es

\ begin {ecuación}
x=\ pm\ sqrt {\ frac {2\ alpha_ {x}} {m}\ izquierda (\ beta_ {x} +t\ derecha),\ quad z=\ frac {\ alpha_ {z}} {m g} -\ frac {g} {2}\ izquierda (\ beta_ {z} +t\ derecha) ^ {2}
\ end {ecuación}

Las cuatro “constantes de movimiento”\(\alpha_{x}, \alpha_{z}, \beta_{x}, \beta_{z}\) están fijadas de manera única por las coordenadas y velocidades iniciales, y parametrizan la evolución temporal posterior del sistema.