14.4: La hipérbola

Coordenadas Cartesianas

La hipérbola tiene excentricidad$e>1$. En coordenadas cartesianas, tiene ecuación

\ begin {ecuación}\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\ end {ecuación}

y tiene dos ramas, ambas yendo al infinito acercándose a las asíntotas$x=\pm(a / b) y$. La curva cruza el eje x en$x=\pm a, \text { the foci are at } x=\pm a e$ cualquier punto de la curva,

\ begin {ecuación} r_ {F_ {1}} -r_ {F_ {2}} =\ pm 2 a\ end {ecuación}

siendo el signo opuesto para las dos ramas.

El recto semilatoso, al igual que para las cónicas anteriores, es la distancia perpendicular de un foco a la curva, y es$\ell=b^{2} / a=a\left(e^{2}-1\right)$. Cada foco tiene una directrix asociada, la distancia de un punto en la curva desde la directrix multiplicada por la excentricidad da su distancia desde el foco.

Coordenadas polares

La$(r, \theta)$ ecuación con respecto a un foco se puede encontrar sustituyendo$x=r \cos \theta+a e, y=r \sin \theta$ en la ecuación cartesiana y resolviendo la cuadrática para$u=1 / r$

Observe que$θ$ tiene un rango limitado: la ecuación para la curva de la derecha con respecto a su propio enfoque$F_{2}$ tiene

\ begin {ecuación}\ tan\ theta_ {\ texto {asíntota}} =\ pm b/a,\ texto {so}\ cos\ theta_ {\ text {asíntota}} =\ pm 1/e\ end {ecuación}

La ecuación para esta curva es

\ begin {ecuación}\ frac {\ ell} {r} =1-e\ cos\ theta\ fin {ecuación}

en el rango

\ begin {ecuación}\ theta_ {\ text {asíntota}} <\ theta<2\ pi-\ theta_ {\ text {asíntota}}\ end {ecuación}

¡Esta ecuación viene con varios signos! La curva de la mano izquierda, con respecto al enfoque de la mano izquierda, tendría un signo positivo$\text { + } e$. Con origen en$F_{1}$ (a la izquierda) la ecuación de la curva derecha es$\frac{\ell}{r}=e \cos \theta-1$ finalmente con el origen en$F_{2}$ la curva izquierda es$\frac{\ell}{r}=-1-e \cos \theta$. Estos dos últimos describen la dispersión cuadrada inversa repulsiva (Rutherford).

Nota: Un resultado útil para la dispersión de Rutherford

Si definimos la hipérbola por

\ begin {ecuación}\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\ end {ecuación}

entonces la distancia perpendicular de un foco a una asíntota es solo b.

Esta ecuación es la misma (incluida la escala) que

\ begin {ecuación}\ ell/r=-1-e\ cos\ theta,\ text {con}\ ell=b^ {2}/a=a\ izquierda (e^ {2} -1\ derecha)\ end {ecuación}

Prueba: El triángulo$C P F_{2}$ es similar al triángulo$C H G, \text { so } P F_{2} / P C=G H / C H=b / a$ y desde el cuadrado de la hipotenusa$C F_{2} \text { is } a^{2} e^{2}=a^{2}+b^{2}, \text { the distance } F_{2} P=b$

Esto me parece un resultado sorprendente porque al analizar la dispersión de Rutherford (y otra dispersión) el parámetro de impacto, la distancia de la trayectoria de partículas de entrada desde una línea paralela a través del centro de dispersión, se denota por$b$. Seguramente esto no puede ser una coincidencia? Pero no puedo encontrar en ningún lado que esta fuera la motivación original para la notación.