15.4: Dinámica del movimiento en un potencial central- Derivando las leyes de Kepler

Cantidades Conservadas

La ecuación de movimiento es:

\ begin {ecuación} m\ stackrel {\ ddot {\ vec {r}}} {r} =-f (r)\ sombrero ancho {\ vec {r}}\ end {ecuación}

Aquí usamos el sombrero ^ para denotar un vector unitario, así\(f(r)\) da la magnitud (y signo) de la fuerza. Para el problema de Kepler,\(f(r)=G M m / r^{2}\)

(Estrictamente hablando, deberíamos estar usando la masa reducida para el movimiento planetario, para nuestro Sistema Solar, eso es una pequeña corrección. Se puede poner al final si es necesario.)

Veamos cómo usando métodos vectoriales podemos encontrar fácilmente constantes de movimiento: primero, momento angular, simplemente actuar sobre la ecuación de movimiento con\(\vec{r} \times:\)

\ begin {ecuación} m\ vec {r}\ veces\ vec {r} =-f (r)\ vec {r}\ veces\ vec {r}\ end {ecuación}

Desde\(\begin{equation}\vec{r} \times \overrightarrow{\vec{r}}=0, \text { we have } \vec{r} \times m \vec{r}=0\end{equation}\), que de inmediato se integra a

\ begin {ecuación}\ vec {r}\ veces m\ vec {r} =\ vec {L}\ fin {ecuación}

una constante, el momento angular, y tenga en cuenta que\(\vec{L} \cdot \vec{r}=0=\vec{L} \cdot \overrightarrow{\vec{r}}\) así el movimiento siempre permanecerá en un plano, con\(\vec{L}\) perpendicular al plano.

Esto establece que el movimiento en una fuerza puramente central obedece a una ley de conservación: la del momento angular.

(Como ya hemos comentado anteriormente en el curso, las cantidades conservadas en los sistemas dinámicos siempre están relacionadas con alguna simetría subyacente del hamiltoniano. La conservación del momento angular proviene de la simetría esférica del sistema: la atracción depende únicamente de la distancia, no del ángulo. En mecánica cuántica, el operador de momento angular es un operador de rotación: los tres componentes del vector de momento angular se conservan, son constantes del movimiento, porque el hamiltoniano es invariante bajo rotación. Es decir, los operadores de momento angular se desplazan con el hamiltoniano. La analogía clásica es que tienen cero paréntesis de Poisson con el hamiltoniano.)

Para volver a la declaración de Kepler sobre sus Leyes, observe que cuando el planeta se mueve a través de una distancia\(d \vec{r}\) incremental “barre” un área\(\frac{1}{2} \vec{r} \times d \vec{r}\), por lo que la tasa de barrido de área es\(d A / d t=\frac{1}{2}|\vec{r} \times \vec{r}|=L / 2 m\). ¡La Segunda Ley de Kepler es solo la conservación del momento angular!

Segundo, la conservación de la energía: esta vez, actuamos sobre la ecuación del movimiento con\(\dot{\vec{r}} \cdot\).

\ begin {ecuación} m\ punto {\ vec {r}}\ cdot\ ddot {\ vec {r}} =-f (r)\ overrightarrow {\ vec {r}}\ cdot\ dot {\ vec {r}}\ end {ecuación}

Esto se integra inmediatamente a

\ begin {ecuación}\ frac {1} {2} m\ vec {r} ^ {2} -\ int_ {r} ^ {\ infty} f (r) d r=E\ end {ecuación}

Otra ley de conservación proveniente de una integral simple: la conservación de la energía. ¿A qué simetría corresponde eso? La respuesta es la invarianza del hamiltoniano bajo el tiempo: la fuerza central es invariable en el tiempo, y estamos asumiendo que hay términos potenciales dependientes del tiempo, (como de otra estrella que pasa cerca).

Derivación de Cálculo Estándar de la Primera Ley de Kepler

La primera prueba matemática de que una órbita elíptica alrededor de un foco significaba una atracción cuadrada inversa fue dada por Newton, usando geometría euclidiana (¡aunque inventó el cálculo!). La prueba es notoriamente difícil de seguir. Bernoulli encontró una prueba de cálculo bastante sencilla en coordenadas polares cambiando la variable a\(u=1/r\).

La primera tarea es expresar\(\vec{F}=m \vec{a}\) en\((r, \theta)\) coordenadas polares, significantes

La forma más sencilla de encontrar la expresión para aceleración es parametrizar el movimiento plano como un número complejo: posición\(r e^{i \theta}, \text { velocity } \dot{r} e^{i \theta}+i r \dot{\theta} e^{i \theta}\), notar esto significa\((\dot{r}, r \dot{\theta})\) ya que el\(i \text { ensures the } r \dot{\theta}\) término está en la\(θ\) dirección positiva, y diferenciando de nuevo da

\ begin {ecuación}\ vec {a} =\ overrightarrow {\ vec {r}} =\ izquierda (\ ddot {r} -r\ punto {\ theta} ^ {2},\ vec {r}\ ddot {\ theta} +2\ punto {r}\ punto {\ theta}\ punto {\ theta}\ derecha)\ end {ecuación}

Para una fuerza central, la única aceleración está en la\(r\) dirección, así\(r \ddot{\theta}+2 \dot{r} \dot{\theta}=0\), que se integra para dar

\ begin {ecuación} m r^ {2}\ punto {\ theta} =L\ final {ecuación}

la constancia del momento angular.

Equiparar los componentes radiales,

\ begin {ecuación}\ frac {d^ {2} r} {d t^ {2}} -r\ punto {\ theta} ^ {2} =-\ frac {G M} {r^ {2}}\ final {ecuación}

Esto aún no está listo para integrarse, porque también\(\dot{\theta}\) varía. Pero como el momento angular\(L=m r^{2} \dot{\theta}\) es constante, podemos eliminar\(\dot{\theta}\) de la ecuación, dando:

\ begin {ecuación}\ begin {alineado}\ frac {d^ {2} r} {d t^ {2}} &=-\ frac {G M} {r^ {2}} +r\ izquierda (\ frac {L} {m r^ {2}}\ derecha) ^ {2}\ &=-\ frac {G M} {r^ {2}} +\ frac {G M} {r^ {2}} +\ frac ac {L^ {2}} {m^ {2} r^ {3}}\ final {alineado}\ final {ecuación}

Esto no parece demasiado prometedor, pero a Bernoulli se le ocurrieron dos trucos ingeniosos. El primero fue cambiar de la variable\(r\) a su inversa,\(u=1/r\). La otra fue usar la constancia del momento angular para cambiar la variable\(t\) a\(θ\).

Armando estos:

\ begin {ecuación} L=m r^ {2}\ punto {\ theta} =\ frac {m} {u^ {2}}\ frac {d\ theta} {d t}\ fin {ecuación}

por lo

\ begin {ecuación}\ frac {d} {d t} =\ frac {L u^ {2}} {m}\ frac {d} {d\ theta}\ fin {ecuación}

Por lo tanto

\ begin {ecuación}\ frac {d r} {d t} =\ frac {d} {d t}\ izquierda (\ frac {1} {u}\ derecha) =-\ frac {1} {u^ {2}}\ frac {d u} {d t} =-\ frac {L} {m}\ frac {d u} {d\ theta} final {ecuación}

y de manera similar

\ begin {ecuación}\ frac {d^ {2} r} {d t^ {2}} =-\ frac {L^ {2} u^ {2}} {m^ {2}}\ frac {d^ {2} u} {d\ theta^ {2}}\ end {ecuación}

Pasando de\(r\) a\(u\) en la ecuación del movimiento

\ begin {ecuación}\ frac {d^ {2} r} {d t^ {2}} =-\ frac {G M} {r^ {2}} +\ frac {L^ {2}} {m^ {2} r^ {3}}\ end {ecuación}

conseguimos

\ begin {ecuación} -\ frac {L^ {2} u^ {2}} {m^ {2}}\ frac {d^ {2} u} {d\ theta^ {2}} =-G M u^ {2} +\ frac {L^ {2} u^ {3}} {m^ {2}}\ end {ecuación}

o

\[ \frac{d^{2} u}{d \theta^{2} +u=\frac{G M m^{2}}{L^{2} \]

¡Esta ecuación es fácil de resolver! La solución es

\ begin {ecuación} u=\ frac {1} {r} =\ frac {G M m^ {2}} {L^ {2}} +C\ cos\ theta\ fin {ecuación}

donde\(C\) es una constante de integración, determinada por las condiciones iniciales.

Esto demuestra que la Primera Ley de Kepler se deriva de la naturaleza de cuadrado inverso de la fuerza, porque (ver inicio de la lectura) la ecuación anterior es exactamente la\((r, \theta)\) ecuación estándar de una elipse de semieje mayor\(a\) y excentricidad\(e\), con el origen en uno enfoque:

\ begin {ecuación}\ frac {a\ izquierda (1-e^ {2}\ derecha)} {r} =1+e\ cos\ theta\ end {ecuación}

Comparando las dos ecuaciones, podemos encontrar la geometría de la elipse en términos del momento angular, la atracción gravitacional y las condiciones iniciales. El momento angular es

\ begin {ecuación} L^ {2} =G M m^ {2} a\ izquierda (1-e^ {2}\ derecha) =G M m^ {2} b^ {2}/a\ end {ecuación}