16.5: Derivación Vectorial del Ángulo de Dispersión

El resultado esencial del análisis anterior fue el ángulo de dispersión en función del parámetro de impacto, para una energía entrante dada. Vale la pena señalar que esto se puede encontrar más directamente por métodos vectoriales a partir de la ecuación de Hamilton.

Recordemos de la última conferencia La ecuación de Hamilton

\ begin {ecuación}
\ vec {L}\ veces m\ stackrel {\ ddot {\ fila derecha}} {r} =-m r^ {2} f (r)\ frac {d\ vec {r}} {d t}
\ end {ecuación}

y la integral para una fuerza cuadrada inversa\(f(r)=k / r^{2}\) (cambiando el signo de\(\vec{A}\) para mayor comodidad)

\ begin {ecuación}
\ vec {L}\ veces m\ punto {\ vec {r}} =k m\ overrightarrow {\ vec {r}} +\ vec {A}
\ end {ecuación}

Como se discutió anteriormente, multiplicando por\(\vec{L}\). establece que\(\vec{A}\) está en el plano de la órbita, y multiplicando por\(\vec{r}\) da

\ begin {ecuación}
-L^ {2} =k m R+a r\ cos\ theta
\ fin {ecuación}

Esto corresponde a la ecuación

\ begin {ecuación}
1/r=-e\ cos\ theta-1
\ end {ecuación}

(la rama izquierda con el enfoque de la derecha como origen, nota del diagrama de arriba que\(\cos \theta\) es negativo en todo) y

\ begin {ecuación}\ frac {L^ {2}} {k m r} =-1-\ frac {A} {k m}\ cos\ theta\ end {ecuación}

Para encontrar el ángulo de dispersión, supongamos que el vector unitario que apunta paralelo a la asíntota es\(\widehat{\vec{r}}_{\infty}\), por lo que la velocidad asintótica es\(v_{\infty} \widehat{\vec{r}}_{\infty}\).

Tenga en cuenta que como antes,\(\vec{A}\) está a lo largo del eje mayor (para dar la forma correcta para la\((r, \theta)\) ecuación), y\(r=\infty\) da los ángulos asintóticos desde

\ begin {ecuación}
\ cos\ theta_ {r=\ infty} =-k m/A
\ final {ecuación}

No estamos rotando la hipérbola como hicimos en el tratamiento alternativo anterior: aquí la mantenemos simétrica alrededor del\(x\) eje, y encontramos su ángulo asintótico a ese eje, que es la mitad del ángulo de dispersión.

Ahora toma la ecuación de Hamilton en el límite asintótico, donde la velocidad es paralela al desplazamiento:

el producto vectorial de la ecuación de Hamilton\(\times \widehat{\bar{r}}_{\infty}\) rinde

\ begin {ecuación}
\ vec {A}\ veces\ sombrero ancho {\ vec {r}} _ {\ infty} =\ izquierda (\ vec {L}\ veces m v_ {\ infty}\ sombrero ancho {\ vec {r}} _ {\ infty}\ derecha)\ veces\ sombrero ancho {\ vec {r}} _ {\ infty} =-\ vec {L} (L/b)
\ final {ecuación}

De ello se deduce que

\ begin {ecuación}
\ sin\ theta_ {r=\ infty} =-L^ {2}/A b
\ end {ecuación}

Y junto con\(\cos \theta_{r=\infty}=-k m / A\), encontramos

\ begin {ecuación}
\ tan\ theta_ {r=\ infty} =\ frac {L^ {2}} {k m b} =\ frac {m b v_ {\ infty} ^ {2}} {k}
\ end {ecuación}

Este es el ángulo entre la asíntota y el eje mayor: el ángulo de dispersión

\ begin {ecuación}
\ chi=\ pi-2\ theta_ {r=\ infty} =2\ izquierda (\ frac {\ pi} {2} -\ theta_ {r=\ infty}\ derecha) =2\ tan ^ {-1}\ izquierda (\ frac {k} {m b v_ {\ infty} ^ {2}}\ derecha)
\ end {ecuación}

coincidiendo con el resultado anterior.