17.4: Principio de superposición
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El movimiento general del sistema es, por lo tanto
\ begin {ecuación}
\ begin {array} {l}
\ theta_ {1} (t) =A e^ {i\ omega_ {0} t} +B e^ {i\ sqrt {\ omega_ {0} ^ {2} +2 k} t}\
\ theta_ {2} (t) =A e^ {i\ omega_ {0} t} -B e^ {i\ sqrt {\ omega_ {0} ^ {2} +2 k} t}
\ end {array}
\ end {ecuación}
donde se entiende que A, B son números complejos y el movimiento físico es la parte real.
Se trata de una solución de cuatro parámetros: las posiciones y velocidades iniciales se pueden establecer arbitrariamente, determinando completamente el movimiento.
Ejercicio: comenzar con un péndulo recto hacia abajo, el otro desplazado, ambos momentáneamente en reposo. Encuentre valores para A, B y describa el movimiento posterior.
Solución: At\(t=0\), los péndulos están en\(A \pm B . \text { Take } A=B=1\). Esto asegura velocidades iniciales cero también, ya que los parámetros físicos son las partes reales de la solución compleja, y en el instante inicial las derivadas son puramente imaginarias.
La solución para el movimiento del primer péndulo es
\ begin {ecuación}
\ theta_ {1} (t) =\ cos\ omega_ {0} t+\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} ^ {2} +2 k\ derecha) ^ {\ frac {1} {2}} t=2\ cos\ frac {1} {2}\ izquierda (\ izquierda (\ omega_ {0} ^ {2} +2 k\ derecha) ^ {\ frac {1} {2}} +\ omega_ {0}\ derecha) t\ cos\ frac {1} {2}\ izquierda (\ izquierda (\ omega_ {0} ^ {2} +2 k\ derecha) ^ {\ frac {1} {2}} -\ omega_ {0}\ derecha) t
\ fin {ecuación}
y para pequeños\(k\),
\ begin {ecuación}
\ theta_ {1} (t)\ cong 2\ cos\ omega_ {0} t\ cos\ izquierda (k/\ omega_ {0}\ derecha) t
\ end {ecuación}
Aquí el péndulo oscila aproximadamente\(\omega_{0}\), pero el segundo término establece la amplitud general de oscilación: está variando lentamente, yendo a cero periódicamente (momento en el que el otro péndulo tiene la máxima energía cinética).
Para pensar: ¿Qué pasa si los dos tienen masas diferentes? ¿Todavía tenemos estos latidos? ¿Puede el péndulo más grande transferir toda su energía cinética a los más pequeños?
Ejercicio: prueba péndulos de diferentes longitudes, colgados para que los bobs estén al mismo nivel, pequeña amplitud de oscilación, mismo resorte que arriba.