17.5: Tres Péndulos Acoplados
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El Lagrangiano es
\ begin {ecuación}
L=\ frac {1} {2} m\ ell^ {2}\ punto {\ theta} _ {1} ^ {2} +\ frac {1} {2} m\ ell^ {2}\ punto {\ theta} _ {2} ^ {2} +\ frac {1} {2} m\ ell^ {2}\ punto {\ theta} _ {3} ^ {2} -\ frac {1} {2} m g\ ell\ theta_ {1} ^ {2} -\ frac {1} {2} m g\ ell\ theta_ {2} ^ {2} -\ frac {1} {2} m g\ ell\ theta_ {3} ^ {2} -\ frac {1} 2} C\ izquierda (\ theta_ {1} -\ theta_ {2} \ derecha) ^ {2} -\ frac {1} {2} C\ izquierda (\ theta_ {3} -\ theta_ {2}\ derecha) ^ {2}
\ fin {ecuación}
Poniendo\(\omega_{0}^{2}=g / \ell, \quad k=C / m \ell^{2}\)
\ (\ begin {ecuación}
L=\ frac {1} {2}\ punto {\ theta} _ {1} ^ {2} +\ frac {1} {2}\ punto {\ theta} _ {2} _ {2} ^ {2} +\ frac {1} {2}\ punto {\ theta} _ {3} ^ {2} -\ frac {1} {2}\ omega_ {0} ^ {2}\ theta_ {1} ^ {2} -\ frac {1} {2}\ omega_ {0} ^ {2}\ theta_ {2} ^ {2} -\ frac {1} {2}\ omega_ {0} ^ {2}\ theta_ {3} ^ {2} -\ frac {1}} {2} k\ izquierda (\ theta_ {1} -\ theta_ {2}\ derecha) ^ {2} -\ frac {1} {2} k\ izquierda (\ theta_ {3} -\ theta_ {2}\ derecha) ^ {2}
\ end {ecuación}\)
Las ecuaciones de movimiento son
\ begin {ecuación}
\ begin {array} {l}
\ ddot {\ theta} _ {1} =-\ omega_ {0} ^ {2}\ theta_ {1} -k\ izquierda (\ theta_ {1} -\ theta_ {2}\ derecha)\
\ ddot {\ theta} _ {2} =-\ omega_ {0} ^ {2}\ theta_ {2} -k\ izquierda (\ theta_ {2} -\ theta_ {1}\ derecha) -k\ izquierda (\ theta_ {2} -\ theta_ {3}\ derecha)\
\ ddot {\ theta} _ {3 } =-\ omega_ {0} ^ {2}\ theta_ {3} -k\ izquierda (\ theta_ {3} -\ theta_ {2}\ derecha)
\ end {array}
\ end {ecuación}
Poniendo\(\theta_{i}(t)=A_{i} e^{i \omega t}\), las ecuaciones se pueden escribir en forma de matriz
\ begin {ecuación}
\ left (\ begin {array} {ccc}
\ omega_ {0} ^ {2} +k & -k & 0\\
-k &\ omega_ {0} ^ {2} +2 k & -k\\
0 & -k &\ omega_ {0} ^ {2} +k
\ end {array}\ derecha) =\ omega_ {0} ^ {2}}\ left (\ begin {array} {ccc}
1 & 0 & amp; 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\ end {array}\ derecha) +k\ left (\ begin {array} {ccc}
1 & -1 & 0\\
-1 & 2 & -1\\
0 & -1 & 1
\ end {array}\ derecha)
\ end { ecuación}
Los modos normales de oscilación vienen dados por los propios estados de esa segunda matriz.
El único modo normal obvio es que todos los péndulos se balancean juntos, a la frecuencia original\(\omega_{0}\), por lo que los resortes permanecen en la longitud de reposo y no juegan ningún papel. Para este modo, evidentemente la segunda matriz tiene un valor propio cero, y un vector propio (1,1,1).
La ecuación completa del valor propio es
\ begin {ecuación}
\ izquierda|\ begin {array} {ccc}
1-\ lambda & -1 & 0\\
-1 & 2-\ lambda & -1\\
0 & -1 & 1-\ lambda
\ end {array}\ derecha|=0
\ end {ecuación}
es decir,
\ begin {ecuación}
(1-\ lambda) ^ {2} (2-\ lambda) -2 (1-\ lambda) =0 =( 1-\ lambda) [(1-\ lambda) [(1-\ lambda) (2-\ lambda) -2] =( 1-\ lambda)\ izquierda (\ lambda^ {2} -3\ lambda\ derecha)
\ end {ecuación}
así que los valores propios son\(\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=1, \lambda_{3}=3\), con frecuencias
\ begin {ecuación}
\ omega_ {1} ^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2},\ omega_ {2} ^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2} +k,\ omega_ {3} ^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2} +3 k
\ final {ecuación}
Los vectores propios de modo normal satisfacen
\ begin {ecuación}
\ left (\ begin {array} {ccc}
1-\ lambda & -1 & 0\\
-1 & 2-\ lambda & -1\\
0 & -1 & 1-\ lambda
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {c}
A_ {1}\\
A_ {2}\\
A_ {3}
\ end {array}\ right) =0
\ end {ecuación}
Lo son\((1,1,1) / \sqrt{3}, \quad(1,0,-1) / \sqrt{2}, \quad(1,-2,1) / \sqrt{6}\), normalizándolos a la unidad.
Las ecuaciones de movimiento son lineales, por lo que la solución general es una superposición de los modos normales:
\ begin {ecuación}
\ izquierda (\ begin {array} {c}
\ theta_ {1}\
\ theta_ {2}\
\\ theta_ {3}
\ end {array}\ right) =\ frac {1} {\ sqrt {3}}\ left (\ begin {array} {c}
1\\
1
\ end {array}\ right)\ operatorname {Re}\ left (C_ {1} e^ {i\ omega_ {1} t}\ derecha) +\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (\ begin {array} {c}
1\\
0\
-1
\ end {array}\ right)\ operatorname {Re}\ left (C_ {2} e^ {i\ omega_ {2} t}\ derecha) +\ frac {1} {\ sqrt {6}}\ izquierda (\ begin {array} {c}
1\\
-2\\
1
\ end {array}\ derecha)\ nombreoperador {Re}\ izquierda (C_ {3} e^ {i\ omega_ {3} t}\ derecha)
\ end {ecuación}