17.7: Tres péndulos iguales acoplados equitativamente
- Page ID
- 130777
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
¿Y si tuviéramos un tercer resorte idéntico que conectara los dos péndulos extremos (podríamos tener pequeñas varillas extendiéndose hacia abajo para que el resorte pasara por debajo del péndulo medio?
¿Cómo serían los modos de oscilación en este caso?
Obviamente, los tres balanceándose juntos sigue siendo una opción, el vector propio (1,1,1), correspondiente al valor propio cero de la “matriz de interacción” anterior. Pero en realidad tenemos que extender esa matriz para incluir la nueva primavera; es fácil verificar esto da la ecuación:
\ begin {ecuación}
\ left (\ begin {array} {ccc}
2-\ lambda & -1 & -1\\
-1 & 2-\ lambda & -1\\
-1 & -1 & 2-\ lambda
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {c}
A_ {1}\\
A_ {2}\\
A_ { 3}
\ end {array}\ right) =0
\ end {ecuación}
La ecuación para los valores propios se encuentra fácilmente para ser\(\lambda(\lambda-3)^{2}=0\). Poner\(\lambda=3\) en la matriz produce la ecuación\(A_{1}+A_{2}+A_{3}=0\) Esto nos está diciendo que cualquier vector perpendicular al vector todo-oscilante (1,1,1) es un vector propio. Esto se debe a que los otros dos vectores propios tienen el mismo valor propio, lo que significa que cualquier combinación lineal de ellos también tiene ese valor propio, esto es una degeneración.
Piensa en la situación física. Si colocamos los dos primeros péndulos balanceándose exactamente fuera de fase, el tercer péndulo no sentirá ninguna fuerza neta, por lo que se mantendrá en reposo. Pero igualmente podríamos elegir otro par. Y, el vector propio (1, −2,1) que encontramos antes sigue siendo un vector propio: está en este subespacio degenerado, igual a (1, −1,0) − (0,1, −1).