19.1: El modelo

¡Notación! En esta conferencia, utilizo\(\kappa\) para la constante de resorte (\(k\)es un número de onda) y\(\Omega\) para la frecuencia (\(\omega\)es una raíz de unidad).

Un buen modelo clásico para un cristal es representar los átomos mediante bolas sostenidas en su lugar por manantiales de luz, representando enlaces de valencia, entre vecinos más cercanos. El cristal más simple que tiene algunas características realistas es una sola cadena de átomos idénticos conectados. Para facilitar las matemáticas, conectaremos los extremos de la cadena para hacerla un círculo. A esto se le llama “imponer condiciones de límite periódicas”. Es práctica común en la teoría de la materia condensada, y hace poca diferencia a la física para un sistema grande.

Tomaremos las posiciones de reposo de los átomos para que estén uniformemente espaciados, a aparte, con el primer átomo en a, el\(n^{\text {th }}\) átomo en na, el\(N^{\text {th }}\) átomo final en el origen.

Lejos del estado energético más bajo, denotamos la posición del\(n^{\text {th }} \text { atom } n a+x_{n}\), entonces, como en nuestra discusión anterior sobre los sistemas oscilantes,\(x_{n}\) está el desplazamiento del equilibrio (que tomamos para estar a lo largo de la línea, no estamos considerando modos transversales de vibración en este momento).

El lagrangiano de este sistema de cadena circular es:

\[L=\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{2} m \dot{x}_{n}^{2}-\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{2} \kappa\left(x_{n+1}-x_{n}\right)^{2} \quad N+1 \equiv 1\]

Vamos a llamar a la constante de primavera\(\kappa\), necesitaremos\(k\) de otra cosa. También llamaremos a la frecuencia\(\Omega\)

Buscando estados propios con frecuencia\(\Omega\), encontramos el conjunto de ecuaciones

\[m \ddot{x}_{n}=-\kappa\left(2 x_{n}-x_{n-1}-x_{n+1}\right)\]

Tomando una solución\(x_{n}=A_{n} e^{i \Omega t}\), con el entendimiento de que\(A_{n}\) puede ser complejo, y al final\(x_{n}\) es solo la parte real de la solución formal, encontramos la ecuación de valor propio para una cadena de cuatro átomos (¡el Mathtype más grande puede manejar!)

\ begin {ecuación}
-m\ Omega^ {2}\ left (\ begin {array} {c}
A_ {1}\\
A_ {2}\\
A_ {3}\\
A_ {4}
\ end {array}\ derecha) =\ left (\ begin {array} {cccc}
-2\ kappa &\ kappa & 0 &\ kappa\
\ kappa & -2 \ kappa &\ kappa & 0\\
0 &\ kappa & -2\ kappa &\ kappa &\ kappa\
\ kappa & 0 &\ kappa y 0 &\ kappa & -2
\ kappa\ end {array}\\ derecha)\ izquierda (\ begin {array} {c}
A_ {1}\\
A_ {2}\\
A_ {3}\\
A_ {4}
\ end {array}\ derecha)
\ end {ecuación}

En realidad tendríamos una matriz mucho más grande, con muchos ceros, pero ojalá el patrón ya esté claro:\(-2 \kappa\) o cada elemento diagonal y\(\kappa\) está en dos líneas diagonal-inclinadas flanqueando la diagonal principal (correspondiente a los vínculos entre vecinos más cercanos) y finalmente\(\kappa\) está en las dos lejanas esquinas, estas procedentes de la primavera uniéndose\(N to 1\) para completar el círculo.

Observe primero que si\(\Omega=0\) hay un vector propio\((1,1,1,1)^{T}\), ya que la suma de los elementos en una fila es cero (la T significa transponer, es decir, es realmente un vector de columna, pero los vectores de fila son mucho más fáciles de encajar en el texto aquí).

Este vector propio es solo un desplazamiento uniforme de todo el sistema, lo que cuesta cero energía ya que el sistema no está anclado a un lugar particular en el anillo. Asumiremos, sin embargo, que el sistema en su conjunto está en reposo, lo que significa que el centro de masa es estacionario, y los átomos tienen posiciones de descanso bien definidas como en la imagen en\(a, 2 a, 3 a, \ldots, N a, N a \equiv 0\)