20.1: Introducción a la Resonancia Paramétrica

(Siguiendo Landau para 27)

Un oscilador armónico simple unidimensional, una masa en un resorte,

\ begin {ecuación}
\ frac {d} {d t} (m\ punto {x}) +k x=0
\ final {ecuación}

tiene dos parámetros,\(m\) y\(k\). Para algunos sistemas, los parámetros se pueden cambiar externamente (un ejemplo es la longitud de un péndulo si en el extremo superior la cuerda pasa por encima de una polea).

Nos interesa aquí la respuesta del sistema a alguna variación periódica impuesta externamente de sus parámetros, y en particular veremos la respuesta resonante, es decir, una gran respuesta a una pequeña variación impuesta.

Obsérvese primero que la variación impuesta en el término de masa se trata fácilmente, simplemente redefiniendo la variable tiempo al\(d \tau=d t / m(t)\) significado,\(\tau=\int \frac{d t}{m(t)}\). Entonces

\ begin {ecuación}
\ frac {d} {d t}\ izquierda (m\ frac {d x} {d t}\ derecha) =\ frac {1} {m}\ frac {d} {d\ tau}\ izquierda (m\ frac {1} {m}\ frac {d x} {d\ tau}\ derecha) =\ frac {1} {m}\ frac\ ac {d^ {2} x} {d\ tau^ {2}}
\ final {ecuación}

y la ecuación del movimiento se convierte\(\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}+m(\tau) k x=0\)

Esto significa que siempre podemos transformar la ecuación para que toda la variación paramétrica esté en la constante de resorte, así que solo analizaremos la ecuación

\ begin {ecuación}
\ frac {d^ {2} x} {d t^ {2}} +\ omega^ {2} (t) x=0
\ end {ecuación}

Además, como estamos buscando fenómenos de resonancia, solo consideraremos una pequeña variación paramétrica a una sola frecuencia, es decir, tomaremos

\ begin {ecuación}
\ omega^ {2} (t) =\ omega_ {0} ^ {2} (1+h\ cos\ Omega t)
\ end {ecuación}

donde\(h \ll 1, \text { and } h\) es positivo (un requisito trivial, simplemente estableciendo el origen de la hora).

(Nota: Preferimos\(\Omega \text { where Landau uses } \gamma\) que se usa a menudo para un ancho de resonancia en estos días).

Ahora tenemos un oscilador impulsado:

\ begin {ecuación}
\ frac {d^ {2} x} {d t^ {2}} +\ omega_ {0} ^ {2} x=-\ omega_ {0} ^ {2} x h\ cos\ Omega t
\ end {ecuación}

¿En qué se diferencia esto de nuestro análisis anterior de un oscilador impulsado? ¡De una manera muy importante!

La amplitud x es un factor en la fuerza impulsora.

Por un lado, esto significa que si el oscilador está inicialmente en reposo, se mantiene así, en contraste con un oscilador ordinario accionado externamente. Pero si la amplitud aumenta, también lo hace la fuerza impulsora. Esto puede llevar a un aumento exponencial de la amplitud, a diferencia del incremento lineal que encontramos anteriormente con un driver externo. (Por supuesto, en un sistema real, la fricción y términos de potencial no lineal limitarán el crecimiento.)

¿Qué frecuencias resultarán importantes para conducir el oscilador a gran amplitud? Responde mejor, por supuesto, a su frecuencia natural\(\omega_{0}\). Pero si de hecho ya está oscilando a esa frecuencia, entonces la fuerza impulsora, incluido el factor de\(x\), es proporcional a

\ begin {ecuación}
\ cos\ omega_ {0} t\ cos\ Omega t=\ frac {1} {2}\ cos\ izquierda (\ Omega-\ omega_ {0}\ derecha) t+\ frac {1} {2}\ cos\ izquierda (\ Omega+\ omega_ {0}\ derecha) t
\ end {ecuación}

sin componente en la frecuencia natural\ (\ begin {ecuación}
\ omega_ {0}\ text {para un general}\ Omega
\ end {ecuación}\)

La forma más sencilla de obtener resonancia es tomar\(\Omega=2 \omega_{0}\). ¿Podemos entender esto físicamente? Sí. Imagínese una masa oscilando hacia atrás y hacia adelante en un resorte, y la fuerza del resorte aumenta justo después de esos puntos donde la masa está más alejada del equilibrio, por lo que obtiene un tirón extra hacia adentro dos veces al ciclo. Esto se alimentará en energía. (Se puede conducir un columpio de esta manera.) Por el contrario, si conduces a la frecuencia natural, dando poco empujón hacia adentro justo después de que comience a balancearse hacia adentro desde un lado, entonces le estarás dando un pequeño empujón hacia afuera justo después de que comience a balancearse hacia atrás desde el otro lado. Por supuesto, si empujas solo desde un lado, como balancear un columpio, esto funciona, pero no es una sola fuerza de frecuencia, el siguiente armónico está haciendo la mayor parte del trabajo.