20.2: Resonancia cerca del doble de la frecuencia natural
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A partir del argumento anterior, el lugar para buscar resonancia está cerca\(\Omega=2 \omega_{0}\). Landau toma
\ (\ begin {ecuación}
\ ddot {x} +\ omega_ {0} ^ {2}\ izquierda [1+h\ cos\ izquierda (2\ omega_ {0} +\ varepsilon\ derecha) t\ derecha] x=0
\ end {ecuación}\)
y, teniendo en cuenta que estamos buscando oscilaciones cercanas a la frecuencia natural, pone
\ begin {ecuación}
x=a (t)\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t+b (t)\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t
\ end {ecuación}
con variación\(a(t), b(t)\) lenta.
Es importante darse cuenta de que este es un enfoque aproximado. Desatiende las frecuencias no resonantes que deben estar presentes en pequeñas cantidades, por ejemplo
\ begin {ecuación}
\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t\ cos\ izquierda (2\ omega_ {0} +\ varepsilon\ derecha) t=\ frac {1} {2}\ cos 3\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t+\ frac {1} {2}\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t
\ end {ecuación}
y se tira el\(3\left(\omega_{0}+\frac{1}{2} \varepsilon\right)\) término.
Y, dado que el supuesto es que\(a(t), b(t)\) van variando lentamente, sus segundas derivadas también se bajan, dejando solo
\ begin {ecuación}
\ begin {array} {l}
\ ddot {x} =-2\ punto {a} (t)\ omega_ {0}\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t-a (t)\ izquierda (\ omega_ {0} ^ {2} +\ omega_ {0}\ varepsilon\ derecha)\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t\\
+2\ punto {b} (t)\ omega_ {0}\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t-b (t)\ izquierda (\ omega_ {0} ^ {2} +\ omega_ {0}\ varepsilon\ derecha)\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon derecha\) t
\ end {array}
\ end {ecuación}
Esto debe ser igual
\ begin {ecuación}
-\ omega_ {0} ^ {2}\ izquierda [1+h\ cos\ izquierda (2\ omega_ {0} +\ varepsilon\ derecha) t\ derecha]\ izquierda [a (t)\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t+b (t)\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t\ derecha]
\ final {ecuación}
Manteniendo solo los términos resonantes, tomamos\(\cos \left(\omega_{0}+\frac{1}{2} \varepsilon\right) t \cdot \cos \left(2 \omega_{0}+\varepsilon\right) t=\frac{1}{2} \cos \left(\omega_{0}+\frac{1}{2} \varepsilon\right) t\) y\(\sin \left(\omega_{0}+\frac{1}{2} \varepsilon\right) t \cdot \cos \left(2 \omega_{0}+\varepsilon\right) t=-\frac{1}{2} \sin \left(\omega_{0}+\frac{1}{2} \varepsilon\right) t\)
por lo que esta expresión se convierte
\ begin {ecuación}
\ begin {array} {l}
-\ omega_ {0} ^ {2}\ izquierda [1+h\ cos\ izquierda (2\ omega_ {0} +\ varepsilon\ derecha) t\ derecha]\ izquierda [a (t)\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon derecha\) t+b (t)\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t\ derecha]\\
=-\ omega_ {0} ^ {2}\ izquierda [a (t)\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t+b (t)\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t+\ frac {1} {2} h a (t)\ cos\ izquierda (omega_\ a_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t-\ frac {1} {2} h b (t)\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t\ derecha]
\ end {array}
\ end {ecuación}
La ecuación se convierte en:
\ begin {ecuación}
\ begin {alineado}
\ ddot {x} =&-2\ punto {a} (t)\ omega_ {0}\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t-a (t)\ izquierda (\ omega_ {0} ^ {2} +\ omega_ {0}\ varepsilon\ derecha)\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t\\
&+2\ punto {b} (t)\ omega_ {0} \ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t-b (t)\ izquierda (\ omega_ {0} ^ {2} +\ omega_ {0}\ varepsilon\ derecha)\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon on\ derecha) t\\
=&=\ omega_ {0} ^ {2}\ izquierda [a (t)\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t+b (t)\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t+\ frac {1} {2} h a (t)\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2} {2}\ varepsilon\ derecha) t-\ frac {1} {2} h b (t)\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t\ derecha]
\ final {alineado}
\ final {ecuación}
Los términos de orden cero cancelan entre los dos lados, dejando
\ begin {ecuación}
\ begin {array} {l}
-2\ punto {a} (t)\ omega_ {0}\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t-a (t)\ omega_ {0}\ varepsilon\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t+2\ punto {b} (t)\ omega_ {0}\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t-b (t)\ omega_ {0}\ varepsilon\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t\\
=-\ omega_ {0} ^ {2}\ izquierda [\ frac {1} {2} h a (t)\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1}} {2}\ varepsilon\ derecha) t-\ frac {1} {2} h b (t)\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t\ derecha]
\ end {array}
\ end {ecuación}
Recogiendo los términos en\(\sin \left(\omega_{0}+\frac{1}{2} \varepsilon\right) t, \quad \cos \left(\omega_{0}+\frac{1}{2} \varepsilon\right) t\)
\ begin {ecuación}
-\ izquierda (2\ punto {a} +b\ varepsilon+\ frac {1} {2} h\ omega_ {0} b\ derecha)\ omega_ {0}\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t+\ izquierda (2\ punto {b} (t) -a\ varepsilon+\ frac {1} {2} h\ omega_ {0} a\ derecha)\ omega_ {0}\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} +\ frac {1} {2}\ varepsilon\ derecha) t=0
\ end {ecuación}
El seno y el coseno no pueden cancelarse entre sí, por lo que los dos coeficientes deben ser ambos idénticamente cero. Esto da dos ecuaciones diferenciales de primer orden para las funciones\(a(t), b(t)\), y buscamos funciones que aumentan exponencialmente, proporcionales a\ (\ begin {ecuación}
a (t) =a e^ {s t},\ quad b (t) =b e^ {s t}
\ end {ecuación}\), que serán soluciones proporcionadas
\ begin {ecuación}
\ begin {array} {l}
s a+\ frac {1} {2}\ izquierda (\ varepsilon+\ frac {1} {2} {2} h\ omega_ {0}\ derecha) b=0\
\\ frac {1} {2}\ left (\ varepsilon-\ frac {1} {2} h\ omega_ {0}\ derecha) a-s b=0
\ end {array}
\ end {ecuación}
La tasa de crecimiento de amplitud es por lo tanto
\ begin {ecuación}
s^ {2} =\ frac {1} {4}\ izquierda [\ izquierda (\ frac {1} {2} h\ omega_ {0}\ derecha) ^ {2} -\ varepsilon^ {2}\ derecha]
\ end {ecuación}
La resonancia paramétrica se llevará a cabo si\(s\) es real, es decir, si
\ begin {ecuación}
-\ frac {1} {2} h\ omega_ {0} <\ varepsilon<\ frac {1} {2} h\ omega_ {0}
\ end {ecuación}
una banda de ancho\(h \omega_{0} \text { about } 2 \omega_{0}\)