20.3: Ejemplo- Impulsado por péndulo a casi el doble de la frecuencia natural
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\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
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\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
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\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Un simple péndulo de longitud\(ℓ\), masa\(m\) se une a un punto que oscila verticalmente\(y=a \cos \Omega t\). Midiendo\(y\) hacia abajo, la posición del péndulo es
\ begin {ecuación}
x=\ ell\ sin\ phi, y=a\ cos\ Omega t+\ ell\ cos\ phi
\ fin {ecuación}
El Lagrangiano
\ begin {ecuación}
\ begin {array} {c}
L=\ frac {1} {2} m\ izquierda (\ punto {x} ^ {2} +\ punto {y} ^ {2}\ derecha) +m g\ ell\ cos\ phi\
=\ frac {1} {2} m\ izquierda (\ ell^ {2}\ cos ^ {2}\ phi\ derecha)\ punto {\ phi} ^ {2} +\ frac {1} {2} m (a\ Omega\ sin\ Omega t+\ ell\ punto {\ phi}\ sin\ phi) ^ {2} +m g\ ell\ cos\ phi\\
=\ frac {1} {2} m\ ell^ {2}\ punto {\ phi} ^ {2} -m a\ ell\ Omega\ sin\ Omega t\ frac {d} {d} {d t}\ cos\ phi+a^ {2}\ Omega^ {2}\ sin ^ {2}\ Omega t+m g\ ell\ cos\ phi
\ end {array}
\ end {ecuación}
El término puramente dependiente del tiempo no afectará a las ecuaciones de movimiento, así que lo dejamos caer, y como las ecuaciones no se ven afectadas al sumar una derivada total al lagrangiano, podemos integrar el segundo término por partes (es decir, estamos dejando caer un término\ (\ begin {ecuación}
\ left. \ frac {d} {d t} (\ nombreoperador {mal}\ Omega\ sin\ Omega t\ cos\ phi)\ derecho)
\ end {ecuación}\) para obtener
\ begin {ecuación}
L=\ frac {1} {2} m\ ell^ {2}\ punto {\ phi} ^ {2} +m a\ ell\ Omega^ {2}\ cos\ Omega t\ cos\ phi+m g\ ell\ cos\ phi
\ fin {ecuación}
(También hemos bajado el término\ (\ begin {ecuación}
m g a\ cos\ Omega t
\ end {ecuación}\) del término de energía potencial—no tiene\(\phi \text { or } \dot{\phi}\) dependencia, por lo que no afectará las ecuaciones de movimiento.)
La ecuación para pequeñas oscilaciones es
\ begin {ecuación}
\ ddot {\ phi} +\ omega_ {0} ^ {2}\ izquierda [1+ (4 a/\ ell)\ cos\ izquierda (2\ omega_ {0} +\ varepsilon\ derecha) t\ derecha]\ phi=0,\ quad\ omega_ {0} ^ {2} =g/\ ell
\ end {ecuación}
Comparando esto con
\ begin {ecuación}
\ ddot {x} +\ omega_ {0} ^ {2}\ izquierda [1+h\ cos\ izquierda (2\ omega_ {0} +\ varepsilon\ derecha) t\ derecha] x=0
\ end {ecuación}
vemos eso\(4 a / \ell \equiv h\), por lo que la resonancia paramétrica varía alrededor\(2 \omega_{0}=2 \sqrt{g / \ell} \text { is of width } \frac{1}{2} h \omega_{0}=2 a \sqrt{g / \ell^{3}}\).