21.3: Estabilidad de un Péndulo con una Fuerza Impulsora Vertical Rápidamente Oscilante

Recordemos ahora el Lagrangiano para el péndulo simple (rígido) de longitud\(ℓ\), masa\(m\), ángulo desde verticalmente hacia abajo\(\phi\), obligado a moverse en un plano vertical, punto de soporte impulsado para oscilar verticalmente con amplitud\(\alpha\) y frecuencia\(\Omega\) (desde la sección sobre paramétrico resonancia),

\ begin {ecuación}
L=\ frac {1} {2} m\ ell^ {2}\ punto {\ phi} ^ {2} +m a\ ell\ Omega^ {2}\ cos\ Omega t\ cos\ phi+m g\ ell\ cos\ phi
\ fin {ecuación}

Nuestro análisis previo de este sistema fue para conducir frecuencias cercanas al doble de la frecuencia natural. Ahora investigaremos el comportamiento para conducir frecuencias mucho más rápidas que la frecuencia natural.

La ecuación del movimiento,

\ begin {ecuación}
\ frac {d} {d t}\ izquierda (\ frac {\ parcial L} {\ parcial\ punto {\ phi}}\ derecha) =\ frac {\ parcial L} {\ parcial\ phi}
\ final {ecuación}

es

\ begin {ecuación}
m\ ell^ {2}\ ddot {\ phi} =-m a\ ell\ Omega^ {2}\ cos\ Omega t\ sin\ phi-m g\ ell\ sin\ phi
\ fin {ecuación}

por lo que evidentemente la fuerza impulsora externa es\(f=-m a \Omega^{2} \cos \Omega t \sin \phi\)

(Landau tiene un error—un extra\(ℓ\) en esto, p 95) y, de la sección anterior, (excepto que para el péndulo estamos usando\(\Omega\), no\(\omega\), para la frecuencia de conducción externa)

\ begin {ecuación}
V_ {\ mathrm {eff}} =V+\ overline {f^ {2}}/2 m\ Omega^ {2} =m g\ ell\ izquierda [-\ cos\ phi+\ izquierda (a^ {2}\ Omega^ {2}/4 g\ ell\ derecha)\ sin ^ {2}\ phi\ derecha]
\ end {ecuación}

\(\text { For } \phi=\pi+\varepsilon, \quad \varepsilon \text { small, }\)

\ begin {ecuación}
V_ {\ mathrm {eff}} (\ varepsilon)\ cong m g\ ell\ izquierda [1-\ frac {1} {2} {2}\ varepsilon^ {2} +\ izquierda (a^ {2}\ Omega^ {2}/4 g\ ell\ derecha)\ varepsilon^ {2}\ derecha]
\ final {ecuación}

y para\(a^{2} \Omega^{2}>2 g \ell\)

¡la posición ascendente es estable!

A primera vista, esto puede parecer sorprendente: el término extra en el potencial de las oscilaciones es como un término de energía cinética para el movimiento oscilante. Seguramente el péndulo está oscilando más en la posición vertical hacia arriba que cuando está a un lado? Entonces, ¿por qué no es eso un máximo del potencial efectivo agregado? El punto es que la variable relevante no es la altura del péndulo por encima de algún punto fijo, la variable es\(\phi\) —y las oscilaciones rápidas de\(\phi\) son mínimas (cero) en la posición vertical hacia arriba.