21.2: Encontrar el potencial efectivo generado por la fuerza oscilante

Como se indicó anteriormente, nuestro sistema es una partícula de masa que\(m\) se mueve en una dimensión en un potencial independiente del tiempo\(V(x)\) y sujeta a una fuerza que oscila rápidamente\(f=f_{1} \cos \omega t+f_{2} \sin \omega t\).

La fuerza y frecuencia de la oscilación son tales que la partícula solo se mueve una pequeña distancia\(V(x)\) durante un ciclo, y la oscilación es mucho más rápida que cualquier oscilación posible solo en el potencial.

La ecuación del movimiento es

\ begin {ecuación}
m\ ddot {x} =-d V/d x+f
\ end {ecuación}

La partícula seguirá un camino

\ begin {ecuación}
x (t) =X (t) +\ xi (t)
\ end {ecuación}

donde\(\xi(t)\) describe oscilaciones rápidas alrededor de una trayectoria suave\(X(t)\), y el valor promedio\(\overline{\xi(t)} \text { of } \xi(t)\) durante un período\(2 \pi / \omega\) es cero.

Ampliando a primer orden en\(\xi\),

\ begin {ecuación}
m\ ddot {X} +m\ ddot {\ xi} =-\ frac {d V} {d x} -\ xi\ frac {d^ {2} V} {d x^ {2}} +f (X, t) +\ xi\ frac {\ parcial f} {\ X parcial}
\ fin {ecuación}

Esta ecuación tiene términos suaves y términos que oscilan rápidamente en ambos lados, y podemos equipararlos por separado. Los términos oscilantes principales son

\ begin {ecuación}
m\ ddot {\ xi} =f (X, t)
\ end {ecuación}

Hemos dejado caer los términos en el derecho de orden\(\xi, \text { but kept } \ddot{\xi}, \text { because } \ddot{\xi} \sim \omega^{2} \xi \gg \xi\).

Entonces, al orden principal en la oscilación rápida,

\ begin {ecuación}
\ xi=-f/m\ omega^ {2}
\ end {ecuación}

Ahora, promediando la ecuación completa del movimiento con respecto al tiempo (suavizando el jiggle, haciendo coincidir los términos de movimiento lento), el de la izquierda y\(m \ddot{\xi}\) el de la\(f(X, t)\) derecha ambos desaparecen (pero se cancelan entre sí de todos modos), el\(\xi d^{2} V / d x^{2}\) término promedia a cero en el supuesto de que la variación de \(d^{2} V / d x^{2}\)sobre un ciclo de la oscilación rápida es insignificante, pero no podemos bajar el promedio

\ begin {ecuación}
\ overline {\ xi\ frac {\ parcial f} {\ parcial X}} =-\ frac {1} {m\ omega^ {2}}\ overline {f\ frac {\ parcial f} {\ parcial X}} =-\ frac {1} {m\ omega^ {2}}\ nabla_ {X}\ overline {f^ {2}}
\ final {ecuación}

Incorporando este término distinto de cero, tenemos una ecuación de “cámara lenta”

\ begin {ecuación}
m\ ddot {X} =-d V_ {\ mathrm {eff}}/d X
\ end {ecuación}

donde, utilizando\(|\dot{\xi}|=|f| / m \omega\),

\ begin {ecuación}
V_ {\ mathrm {eff}} =V+\ overline {f^ {2}}/2 m\ omega^ {2} =V+\ frac {1} {2} m\ overline {\ punto {\ xi} ^ {2}}
\ end {ecuación}

El potencial efectivo es el original más un término proporcional a la energía cinética de la oscilación.