22.1: Introducción a las Oscilaciones Resonantes No Lineales

Las secciones siguientes de Landau' (Capítulo 6, secciones 28,29) abordan sistemas unidimensionales no lineales. En particular, se centra en osciladores amortiguados accionados con términos potenciales no lineales, pero pequeños, agregados. Utilizando ingeniosas técnicas semicuantitativas, predice algunos resultados inesperados: por ejemplo, una discontinuidad en la amplitud de oscilación al variar lentamente la frecuencia de conducción a una fuerza motriz constante (y amortiguación constante). También encuentra resonancias cuando la frecuencia de conducción es una fracción, por ejemplo, un tercio, de la frecuencia natural del oscilador.

Afortunadamente, este sistema es fácil de analizar numéricamente, y tenemos un applet para hacer precisamente eso. Los parámetros son establecidos por deslizadores, y uno puede encontrar inmediatamente la gran discontinuidad en amplitud (factor de dos o así) ya que la frecuencia cambia ligeramente. Al final de esta conferencia, mostramos gráficas simples de respuesta de amplitud a una fuerza impulsora constante a medida que se varía la frecuencia. Estos se encontraron usando el applet, el lector puede verificarlos fácilmente y aventurarse en partes del espacio de parámetros. El applet proporciona una medida de la precisión (semicuantitativa) de Landau, por supuesto sorprendentemente buena (de orden 20% de error o menos) dada la naturaleza del problema.

Cabe añadir que esta es una zona donde, gracias a las computadoras, se han logrado grandes avances desde que Landau escribió el libro, en particular el descubrimiento para algunos sistemas de duplicación de época y caos a medida que se incrementa la fuerza impulsora. Hemos agregado una conferencia (22a) sobre un sistema en particular, el péndulo amortiguado impulsado, una extensión natural del oscilador de Landau. Esto ilustra algunas de las características novedosas. Seguiremos parte del capítulo 12 del excelente texto de Taylor, Mecánica Clásica. Taylor proporciona muchos gráficos generados por computadora de la respuesta del péndulo ya que los parámetros son variados. Proporcionamos applets que pueden generar estas gráficas. El lector puede usar fácilmente estos applets para explorar otras entradas de parámetros.

En esta conferencia, para ganar un poco de intuición sobre estos potenciales no lineales, comenzaremos (siguiendo a Landau) sin conducción y sin amortiguación: solo una partícula que oscila en un potencial que es simple armónico más términos pequeños y (positivos). Las preguntas básicas son, ¿cómo cambian estos términos la frecuencia de oscilación y cómo depende esa frecuencia de la amplitud de la oscilación? Las respuestas nos guiarán en la comprensión de cómo una partícula en tal potencial responderá a un término de conducción armónico, más amortiguación.

A continuación, revisamos brevemente el oscilador lineal amortiguado accionado (cubierto en detalle en la conferencia 18, esto es realmente solo un recordatorio de la notación). Después agregamos pequeños términos cúbicos y cuárticos. Presentamos el argumento de Landau de que, por encima de cierta fuerza impulsora, aumentar gradualmente la frecuencia de conducción conduce en un valor crítico a una caída discontinua en la amplitud de la respuesta, luego usar un applet para confirmar y cuantificar su resultado.