22.2: La frecuencia de oscilación de una partícula es un potencial ligeramente anarmónico

Consulte el applet que ilustra esta sección.

Landau (párrafo 28) considera un oscilador armónico simple con términos de energía potencial pequeños agregados\(\frac{1}{3} m \alpha x^{3}+\frac{1}{4} m \beta x^{4}\). En órdenes principales, estos términos contribuyen por separado, y de manera diferente, por lo que es más fácil tratarlos uno a la vez. Primero consideraremos el término cuártico, una ecuación de movimiento

\[\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=-\beta x^{3}\]

(Siempre vamos a tomar\(\beta\) positivo)

Escribiendo una teoría de perturbación expansión (siguiendo Landau):

\[x=x^{(1)}+x^{(2)}+\cdots\]

(La práctica estándar en la mayoría de los libros sería escribir\(x=x^{(0)}+x^{(1)}+\ldots\) con el superíndice indicando el orden de la perturbación, estamos siguiendo la notación de Landau, ojalá reduciendo la confusión...) Tomamos como término principal

\[x^{(1)}=a \cos \omega t\]

con el valor exacto de\(\omega, \omega=\omega_{0}+\Delta \omega\). Por supuesto, todavía no sabemos el valor,\(\omega\) ¡esto es lo que estamos tratando de encontrar!

Y, como señala Landau, no se puede simplemente escribir\(\cos \left(\omega_{0}+\Delta \omega\right) t=\cos \omega_{0} t-(\Delta \omega) t \omega_{0} \sin \omega_{0} t\) porque eso implica que el movimiento aumente en el tiempo, y nuestro sistema es una partícula que oscila en un potencial fijo, sin suministro de energía. Además, aunque de alguna manera tuviéramos el valor de\(\omega\) exactamente correcto, esta expresión no sería una solución completa a la ecuación: el movimiento es ciertamente periódico con punto\(2 \pi / \omega\), pero la descripción completa del movimiento es una serie de Fourier que incluye frecuencias n\(\omega\), n un entero, ya que el potencial ya no es simple armónico.

De todos modos, poner esta frecuencia correcta en la ecuación de movimiento\(\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=-\beta x^{3}\) da un lado izquierdo distinto de cero, así que reorganizamos. Nos restamos\(\left(1-\left(\omega_{0}^{2} / \omega^{2}\right)\right) \ddot{x}\) de ambos lados para obtener:

\[\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}} \ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=-\beta x^{3}-\left(1-\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}}\right) \ddot{x}\]

Ahora poner el término principal\(x^{(1)}=a \cos \omega t\) en el lado izquierdo sí da cero: si la ecuación tuviera cero en el lado derecho, esto solo sería un oscilador libre (sin amortiguar) con frecuencia natural\(\omega\) no\(\omega_{o}\). Esto no parece muy prometedor, pero sigue leyendo.

La ecuación para la corrección de primer orden\(x^{(2)}\) es:

\[\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}} \ddot{x}^{(2)}+\omega_{0}^{2} x^{(2)}=-\beta\left(x^{(1)}\right)^{3}-\left(1-\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}}\right) \ddot{x}^{(1)}\]

Observe que el segundo término en el lado derecho incluye.\(\ddot{x}^{(1)}=-\omega^{2} a \cos \omega t\) Esta ecuación ahora representa una fuerza impulsora sobre un oscilador sin amortiguar exactamente a su frecuencia resonante, por lo que haría que la amplitud aumentara linealmente, obviamente un resultado poco físico, ya que solo estamos modelando una partícula deslizándose hacia atrás y ¡adelante en un potencial, sin que se suministre energía desde el exterior!

La clave es que también hay un impulsor resonante en ese primer término\(-\beta\left(x^{(1)}\right)^{3}\).

Claramente estos dos términos de manejo tienen que cancelar, y este requisito clava\(\Delta \omega\): así es como:

\[-\beta\left(x^{(1)}\right)^{3}=-\beta a^{3} \cos ^{3} \omega t=-\beta a^{3}\left(\frac{3}{4} \cos \omega t+\frac{1}{4} \cos 3 \omega t\right)\]

así que los términos de conducción resonantes cancelan siempre

\[-\beta a^{3} \frac{3}{4} \cos \omega t-\left(1-\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}}\right)\left(-\omega^{2} a \cos \omega t\right)=0\]

Recordando\(\omega=\omega_{0}+\Delta \omega\), esto da (a este orden)

\[\Delta \omega=\frac{3 \beta a^{2}}{8 \omega_{0}}\]

(Estrictamente,\(\omega_{0}+\frac{1}{2} \Delta \omega\) en el denominador, pero eso es una corrección de orden superior.)

Tenga en cuenta que la frecuencia aumenta con la amplitud: el\(x^{4}\) potencial da una fuerza restauradora cada vez más fuerte con amplitud que el pozo armónico. Puedes comprobarlo con el applet. Ahora consideremos la ecuación para una pequeña perturbación cúbica,

\[\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=-\alpha x^{2}\]

Esto representa un potencial agregado\(-\frac{1}{3} \alpha x^{3}\), que es una función impar, por lo que al orden inicial no cambiará el periodo, acelerando la mitad de la oscilación y ralentizando la otra mitad la misma cantidad en orden inicial. La primera corrección a la posición en función del tiempo es la solución de

\[\ddot{x}^{(2)}+\omega_{0}^{2} x^{(2)}=-\alpha a^{2} \cos ^{2} \omega t=-\frac{1}{2} \alpha a^{2}-\frac{1}{2} \alpha a^{2} \cos 2 \omega t\]

La solución es

\[x^{(2)}=-\frac{\alpha a^{2}}{2 \omega_{0}^{2}}+\frac{\alpha a^{2}}{6 \omega_{0}^{2}} \cos 2 \omega t\]

Físicamente, sumando esto al término principal, la partícula está pasando más tiempo en la mitad más suave del potencial, dando una corrección dependiente de la amplitud a su posición promedio.

Para obtener la corrección a la frecuencia, tenemos que ir al siguiente orden,\[\omega=\omega_{0}+\omega^{(2)}\]. Dejando términos de orden superior, la ecuación de movimiento para la siguiente corrección es

\[\ddot{x}^{(3)}+\omega_{0}^{2} x^{(3)}=-2 \alpha x^{(1)} x^{(2)}+2 \omega_{0} \omega^{(2)} x^{(1)}\]

y con\[x=x^{(1)}+x^{(2)}+x^{(3)}, \omega=\omega_{0}+\omega^{(2)}\], siguiendo a Landau,

\[\ddot{x}^{(3)}+\omega_{0}^{2} x^{(3)}=-\frac{\alpha^{2} a^{3}}{6 \omega_{0}^{2}} \cos 3 \omega t+a\left[2 \omega_{0} \omega^{(2)}+\frac{5 a^{2} \alpha^{2}}{6 \omega_{0}^{2}}\right] \cos \omega t\]

Nuevamente, no puede haber un término distinto de cero impulsando el sistema en resonancia, por lo que la cantidad entre corchetes debe ser cero, esto nos da\(\Delta \omega=\omega^{(2)}=-5 a^{2} \alpha^{2} / 12 \omega_{0}^{3}\)

La corrección total a la frecuencia al orden inicial para los pequeños potenciales adicionales\[\frac{1}{3} m \alpha x^{3}+\frac{1}{4} m \beta x^{4}\] es, por lo tanto, (se suman independientemente a este orden)

\[\Delta \omega=\left(\frac{3 \beta}{8 \omega_{0}}-\frac{5 \alpha^{2}}{12 \omega_{0}^{3}}\right) a^{2}=\kappa a^{2}\]

(siendo\(\kappa\) aquí una notación conveniente que Landau emplea más tarde).

¿Qué tan buenas son estas aproximaciones?

Tenemos un applet que resuelve esta ecuación numéricamente, por lo que es sencillo de verificar.

Comenzando con el potencial de perturbación cuártica\(\frac{1}{4} m \beta x^{4}\), Landau encuentra una corrección de frecuencia\(\Delta \omega=3 \beta a^{2} / 8 \omega_{0}\). Tomando una perturbación bastante grande\(a=\beta=\omega_{0}=1\) encontramos a partir del applet que\(\Delta \omega=0.33\) mientras que la teoría de perturbación de Landau predice\(\Delta \omega=\frac{3}{8}=0.375\). No obstante, si corrigimos el denominador de Landau (como se mencionó anteriormente, señaló que debería ser\(\omega\), pero dijo que era de segundo orden) el error es muy pequeño.

Tomando\(\alpha=0.3\),\(\beta=0.1\),\(\omega_{0}=0\),\(a=1\) la fórmula da\(\Delta \omega=0.018\) así menos de dos por ciento de error,
y para amplitud 0.2, el esfuerzo es menor de 0.1%.

Explora con el applet aquí.