22.6: Multiplos de Frecuencia
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\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
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\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
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\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
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\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
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El análisis anterior es para frecuencias no muy lejos de\(\omega_{0}\). Pero los términos no lineales pueden hacer que la resonancia ocurra a frecuencias que son múltiplos racionales de\(\omega_{0}\). Landau demuestra que una pequeña\(\frac{1}{3} \alpha x^{3}\) en el potencial (por lo que una fuerza adicional\(\alpha x^{2}\) en la ecuación de movimiento) puede generar una resonancia cercana\(\gamma=\frac{1}{2} \omega_{0}\). Solo hemos considerado una adición cuártica al potencial,\(\frac{1}{4} \beta x^{4}, \text { a force } \beta x^{3}\), podemos demostrar que da una resonancia cercana\(\gamma=\frac{1}{3} \omega_{0}\), y presumiblemente este es el pequeño bache cerca del comienzo de las curvas anteriores para una gran fuerza motriz.
\(\text { We have } \ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=(f / m) \cos \gamma t-\beta x^{3}\)
\(\text { We'll write } x=x^{(0)}+x^{(1)}+\ldots\)
\(\text { Let's define } x^{(0)} \text { by }\)
\[\ddot{x}^{(0)}+2 \lambda \dot{x}^{(0)}+\omega_{0}^{2} x^{(0)}=(f / m) \cos \gamma t\]
\(\text { So } x^{(0)}=b \cos (\gamma t+\delta) . \text { Then }\)
\ [\ begin {alineado}
\ ddot {x} ^ {(1)} +2\ lambda\ punto {x} ^ {(1)} +\ omega_ {0} ^ {2} x^ {(1)} &=-\ beta\ izquierda (x^ {(0)}\ derecha) ^ {3}\\
&=-\ beta b^ {3}\ cos ^ {3} (\ gamma t+\ delta)\\
&=-\ beta b^ {3}\ izquierda [\ frac {3} {4}\ cos (\ gamma t+\ delta) +\ frac {1} {4}\ cos (3\ gamma t+\ delta)\ derecha]
\ end {alineado}\]
Entonces, para\(\gamma=\frac{1}{3} \omega_{0}\), el segundo término\(-\beta b^{3} \frac{1}{4} \cos (3 \gamma t+\delta)=-\beta b^{3} \frac{1}{4} \cos \left(\omega_{0} t+\delta\right)\),, tendrá una respuesta resonante, aunque es proporcional a la (pequeña) amplitud al cubo. Argumentos similares funcionan para otras frecuencias fraccionarias.