23.1: Introducción

Anteriormente hemos discutido el oscilador armónico simple amortiguado impulsado, y en la última conferencia extendimos ese trabajo (siguiendo a Landau) a un oscilador anarmónico, agregando un término cuártico al potencial. Aquí hacemos una extensión diferente del oscilador simple: vamos a un péndulo amortiguado impulsado. (Un peso en un extremo de una varilla rígida ligera, estando el otro extremo de la varilla en una posición fija pero la varilla libre para girar alrededor de ese punto fijo en un plano vertical). Es decir, reemplazamos el término potencial\(−\omega^2_0x\) en el oscilador lineal con\(−\omega^2_0\sin x\), o mejor dicho\(−\omega^2_0 \sin \phi\), para dejar claro que tenemos un sistema angular. ¡Ir a un péndulo amortiguado impulsado lleva a muchas sorpresas!

Para una fuerza motriz suficientemente débil, el comportamiento del péndulo amortiguado accionado es, por supuesto, cercano al del oscilador lineal amortiguado accionado, pero al aumentar gradualmente la fuerza impulsora, a cierta fuerza el período de la respuesta se duplica, luego, con un aumento adicional, se duplica nuevamente y nuevamente, a intervalos geométricamente decrecientes, yendo a una respuesta caótica (no periódica) con una fuerza motriz definida. Pero ese no es el final de la historia: el régimen de respuesta caótica tiene mucha estructura: muchos puntos dentro de una región generalmente caótica son de hecho patrones cíclicos no caóticos y bien definidos. Y, como veremos más adelante, el patrón de respuesta en sí mismo puede ser de naturaleza fractal, ver por ejemplo el extraño atractor discutido al final de esta conferencia. Puedes usar el applet que lo acompaña para generar este atractor y sus primos fácilmente.

Obviamente, este es un tema muy rico, solo brindamos una breve descripción. Seguimos de cerca el tratamiento en la Mecánica Clásica de Taylor, pero con la adición de nuestros applets con fines ilustrativos, y también para fomentar una mayor exploración: los applets describen con precisión el movimiento y exhiben los extraños atractores en el régimen caótico. Con los applets, es fácil comprobar cómo estos extraños atractores cambian (o colapsan) al variar la fuerza motriz o la amortiguación. Terminamos con una discusión sobre la dimensión fractal de los atractores, y cómo se relaciona con la dinámica, en particular con la tasa de divergencia de trayectorias inicialmente cercanas, aquí siguiendo a Baker y Gollub, Dinámica caótica.