23.3: Exponentes de Lyapunov y dimensiones de atractores extraños

Escalar el atractor

Al mirar el extraño atractor que se muestra en la sección anterior, encontramos que al magnificar una pequeña parte del mismo vimos el mismo tipo de estructura que tiene el atractor en su conjunto: si miramos a un\(\gamma = 1.5\) atractor, con amortiguación 0.75, hay tramos largos y delgados, terminan dando vueltas. Observamos que reducir a la mitad la amortiguación a 0.375 engorda los estiramientos previamente cuasi-unidimensionales y revela un complicado lazo en varios niveles. (Recuerda que lo que estamos viendo aquí es una sección Poincaré del atractor, la otra dimensión es el tiempo periódico (o fase conductora, lo mismo) así que una curva aquí es una sección de alguna hoja). Si se usa más potencia informática, yendo a escalas cada vez más pequeñas, resulta que la pequeña parte magnificada del atractor se ve muy igual que el atractor. Este tipo de invarianza de escala es una característica de un fractal. Un aspecto misterioso de los fractales es su dimensionalidad. Mira el extraño atractor. No hay lugares donde llene sólidamente un tramo de espacio bidimensional, esto es más claro al ir a mayor y mayor ampliación: vemos cada vez más estructuras unidimensionales, sin fin, por lo que seguramente tiene una dimensión menor que dos, pero mayor que una, ¿cómo le damos sentido a eso?

Fractales: el Set Cantor

Para tratar de encontrar un concepto generalizado de dimensión de un conjunto (es decir, no solo un entero), comenzamos con quizás el ejemplo más simple de un fractal, el conjunto Cantor: tomar los números entre 0 y 1, y cortar el tercio medio. Ahora tienes dos tiras de números, de 0 a 1/3, y de 2/3 a 1. Para cada una de esas tiras, corta el tercio medio. Ahora tienes cuatro tiras, corta el tercio medio de cada una de ellas (podría ayudar dibujar esto). Haz esto para siempre. Lo que queda es el conjunto de Cantor. Se puede ver que esto es invariante a escala: después de hacer esto muchas veces, toma una de las pequeñas tiras restantes, lo que le sucede al continuar el proceso es idéntico (escalado adecuadamente) a lo que pasó con la tira inicial.

¿Qué tan grande es este set de Cantor? En cada paso, cortamos la longitud total de la línea incluida en 2/3. Ya que\((2/3)^n\) va a cero como\(n\) va al infinito, claramente tiene talla cero, ¿verdad? Pero claramente hay más en el conjunto Cantor de lo que hay en un solo punto, o para que eso importe un número finito de puntos. ¿Qué pasa con un número infinitamente contable de puntos, por ejemplo, los números racionales entre 0 y 1? Bueno, puedes escribirlos en una lista, ordenados aumentando los denominadores, y para un denominador aumentando los numeradores. Entonces puedes ponerlos uno por uno en intervalos diminutos, 1/2 entra en un intervalo de longitud\(\varepsilon\), 1/3 en un intervalo\(\varepsilon /2\), 2/3 en uno de longitud\(\varepsilon /2^2\), 1/4 de pulgada\(\varepsilon /2^3\), y así sucesivamente, siendo la longitud total del número infinito de intervalos\(2\varepsilon \), por lo que todos los racionales pueden ser cubiertos por un arbitrariamente pequeño conjunto de intervalos. ¿Podemos contar en orden los números en el conjunto Cantor de la misma manera? La respuesta es no, y para ver por qué pensar primero en todos los números entre 0 y 1, racionales e irracionales. Si haces una lista infinita de ellos, puedo demostrar que te perdiste alguna salida: solo tomo tu lista y escribo un decimal que difiera de tu\(n^{th}\) número en el\(n^{th}\) lugar. Entonces no podemos poner todos los números en el intervalo en cajitas que se suman a cero, ¡lo cual es obvio de todos modos!

Pero ahora al conjunto Cantor: supongamos que escribimos todos los números entre 0 y 1 usando la base 3, en lugar de la base tradicional 10. Es decir, cada número es una cadena de 0's, 1's y 2's Entonces el conjunto Cantor es todos aquellos números que no tienen ningún 1, como 0.2, 0.02202, etc. (Compruébelo usted mismo.) ¡Pero el número de estos números es exactamente el mismo que todos los números entre 0 y 1 en notación binaria! Entonces seguramente el conjunto Cantor tiene dimensión 1? (Estos infinitos son complicados).

La conclusión del argumento anterior es que podemos argumentar plausiblemente tanto que el conjunto Cantor tiene dimensión 0, como que tiene dimensión 1. Para entender y categorizar mejor los fractales, necesitamos una definición funcional de dimensión para fractales. Un enfoque es la dimensión de capacidad.

Dimensiones: Capacidad y Correlación

Supongamos que cubrimos el intervalo 0,1 con un conjunto de cajas pequeñas\(\varepsilon \), longitud, claramente hay\(N(\varepsilon )=1/\varepsilon\) tales cajas (supongamos que es un entero). Ahora considere un subconjunto de los números entre 0 y 1\(\varepsilon \), elija y encuentre cuántas cajas\(N(\varepsilon )\) son necesarias para cubrir este subconjunto. La dimensión de capacidad se define como

\[d_C= \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\log N(\varepsilon )}{\log (1/\varepsilon )}.\]

Por simplicidad, elegimos para\(1/\varepsilon =3,9,27,...\) que los números necesarios de cajas para cubrir el conjunto Cantor descrito en la sección anterior estén\(2, 4, 8...\) fuera del número total de cajas\(3, 9, 27, ... \). Por lo tanto

\[d_C (\text{Cantor})= \frac{n \log 2}{n \log 3} = \frac{\log 2}{\log 3},\]

por supuesto entre 0 y 1. (Hay muchas maneras de definir la dimensionalidad de los conjuntos de números; esta definición da cero para un conjunto finito de puntos, y uno para todos los números entre 0 y 1, pero también 1 para el conjunto de racionales, que hemos mostrado anteriormente puede ser cubierto por un conjunto infinito de intervalos de total arbitrariamente pequeño longitud.)

Otra medida utilizada es la dimensión de correlación, en la que para un gran número de puntos (como nuestra representación del atractor)\(C(r)\) se define una integral de correlación como el número total de pares de dos puntos menos que\(r\) separados. Para pequeños\(r\), esto va como un poder\(r^{\nu}\), y resulta que en muchos casos\(\nu\) se acerca a la definición de capacidad de la dimensión fractal. (Grassberger y Procaccia.)

Desarrollo de Tiempo de Sistemas en Espacio de Fase

Recordemos primero que el espacio de estado o espacio de fase que hemos estado trazando es realmente una proyección del espacio orbital completo en dos dimensiones, siendo la tercera dimensión necesaria para predecir el movimiento futuro la fase de la fuerza impulsora de la onda sinusoidal, así que esto es solo el tiempo (aunque por supuesto cíclico).

Supongamos que ahora poblamos este espacio tridimensional con muchos puntos, como un gas, cada uno representando un péndulo amortiguado impulsado. A medida que pasa el tiempo el gas fluirá, la trayectoria de cada átomo de gas completamente determinada, y nunca habrá dos en el mismo punto en este espacio completo (excepto quizás asintóticamente en el tiempo infinito).

Toma ahora un pequeño volumen, digamos un cubo con lados paralelos a los ejes, que contiene muchos puntos. Consideremos primero el sistema sin amortiguar: luego el Teorema de Liouville (enlace a mi conferencia) nos dice que a medida que pasa el tiempo el cubo generalmente se distorsionará, pero no cambiará de volumen. Es decir, el gas de los sistemas fluye como un fluido incompresible. (Los detalles de la derivación se dan en la conferencia enlazada; brevemente, los movimientos de los lados en el tiempo\(\Delta t\) provienen de las ecuaciones de movimiento, etc.)

Sin embargo, si el sistema tiene amortiguación —como lo hace el nuestro—, el mismo análisis lleva a la conclusión de que el volumen que ocupan los sistemas en el espacio de fase (recuerde, esto ahora es tridimensional) se contrae a una velocidad determinada por la amortiguación. Como ejemplo trivial, piense en péndulos amortiguados no accionados, todos ellos tenderán a la posición de reposo del punto bajo. La péndula ligeramente conducida pasará a un ciclo unidimensional.

Podemos probar esta contracción a partir de la ecuación del movimiento:

\[\ddot{\phi}+2\beta \dot{\phi}+\omega^2_0 \sin\phi =\gamma \omega^2_0 \cos\omega t.\]

En el espacio de fase tridimensional, la posición de un péndulo se puede escribir en coordenadas\((\phi ,\dot{\phi},\psi )\) donde\(\psi =\omega t\), la fase de conducción, entre 0 y\(2\pi \).

La velocidad espacial de fase local se\(\overrightarrow{F}\) puede escribir en términos de las coordenadas (¡esta es solo la ecuación anterior reescrita!) :

\[\begin{align}& \frac{\partial \phi}{ \partial t} =\dot{\phi}, \\ &\frac{\partial \dot{\phi}}{\partial t}=−2\beta \dot{\phi}−\omega^2_0 \sin\phi +\gamma \omega^2_0 \cos\psi , \\ &\frac{\partial \psi}{ \partial t} = \omega , \end{align}\]

Por lo tanto, esta es la velocidad local de los átomos del gas (es decir, los sistemas), y es trivial verificar que

\[\overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{F}=−2\beta .\]

Esto significa que si tenemos una pequeña esfera que contiene muchos puntos correspondientes a sistemas (un “gas” de sistemas) entonces el volumen de la esfera (ahora distorsionada) que encierra esos puntos está disminuyendo en volumen a una velocidad exponencial\(V(t)=V_0e^{−2\beta t}\).

Relacionando esta imagen con los exponentes de Lyapunov

Continuando pensando en el desarrollo de una pequeña esfera (que contenga muchos puntos correspondientes a sistemas) en el espacio de fases, se estará moviendo a lo largo de una órbita, pero al mismo tiempo distorsionando, digamos a un elipsoide como primera aproximación inicial, y dando vueltas. En el régimen caótico, sabemos que debe estar creciendo en alguna dirección, al menos en promedio (las tasas variarán a lo largo de la órbita) porque sabemos que los puntos inicialmente cercanos se separan en promedio a un ritmo exponencial dado por el primer exponente Lyapunov,\(\propto e^{\lambda_1t}\). Haremos la suposición simplificadora de que el elipsoide tiene sus ejes inicialmente variando en el tiempo como\((e^{\lambda_1t},e^{\lambda_2t},e^{\lambda_3t})\), con\(\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3\). Del resultado anterior\(\overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{F}=−2\beta\), concluimos que

\[\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=−2\beta .\]

Tenemos que decir algo más sobre\(\lambda_1\). Lo estamos tomando como lo define la tasa de crecimiento de la distancia entre trayectorias después de cualquier transitorio inicial pero antes de que la distancia sea comparable al tamaño del sistema (encontrar este intervalo de manera plausible se ha denominado un “arte oscuro”). Imaginamos que nuestra esfera inicialmente pequeña de gas se alarga y se tambalea a medida que avanza. Ojalá su tasa de elongación se correlacione bien con lo que realmente medimos, es decir, la tasa de crecimiento del\(\phi\) desplazamiento neto, la separación por coordenadas de dos órbitas inicialmente cercanas, que trazamos y ajustamos aproximadamente con una exponencial,\(\propto e^{\lambda_1t}\).

Para el péndulo, la\(\psi\) dirección es justo el tiempo, no escalada, entonces\(\lambda_3=\lambda_\psi =0\). Entonces necesariamente\(\lambda_2<0\) para satisfacer la ecuación de amortiguación.

Entonces tomando una colección local (en espacio de fase) de sistemas, aquellos que están dentro de una superficie cerrada dada, como una pequeña esfera, y siguiendo su evolución en el tiempo en el régimen caótico, la esfera se expandirá en una dirección; una dirección, sin embargo, que varía con el tiempo, pero se contrae o se queda constante en las otras direcciones. A medida que la superficie crece, esto se vuelve más complicado porque está confinado a un espacio de fase total finito. Y continúa expandiéndose al mismo ritmo que pasa el tiempo, por lo que el aumento continuo de la superficie debe implicar plegamientos cada vez más apretados para permanecer en el espacio de fase. Y así es como se ve el extraño atractor.

Una conjetura fractal

En 1979, Kaplan y Yorke conjeturaron que la dimensionalidad del extraño atractor siguió de los exponentes de Lyapunov que participaban en su creación. En nuestro caso, el péndulo amortiguado impulsado, solo hay dos exponentes relevantes,\(\lambda_1>0\),\(\lambda_2<0\) y\(\lambda_1+\lambda_2=−2\beta \).

Un argumento de plausibilidad se da en el libro de Baker y Gollub, Caotic Dynamics. Definen una dimensión Lyapunov\(dL\) del atractor por

\[dL= \lim_{\varepsilon \to 0} \left[\frac{d(\log N(\varepsilon ))}{d(\log (1/\varepsilon ))}\right],\]

exactamente análogamente a la definición de dimensión de capacidad en el apartado anterior.

Ahora, a medida que pase el tiempo un pequeño elemento cuadrado tendrá su área multiplicada por un factor\(e^{(\lambda_1+\lambda_2)t}\). (No se realiza escalado en la tercera dirección (tiempo).) Al mismo tiempo, argumentan que la unidad de longitud\(\varepsilon\) cambia como\(e^{\lambda_2t}\). Entonces\(N(\varepsilon )\) está el área\(\varepsilon^2_0e^{(\lambda_1+\lambda_2)t}\) dividida por el área básica que se encoge\(\varepsilon^2_0e^{2\lambda_2t}\). El diferencial de\(\log N(\varepsilon )\) es\(\lambda_1−\lambda_2\), el de\(\log(1/\varepsilon )\) es\(−\lambda_2\), por lo que su argumento da

\[dL=1−\frac{\lambda_1}{\lambda_2}.\]

El applet Lyapunov está diseñado para medir\(\lambda_1\) mediante el seguimiento de la separación de trayectorias inicialmente cercanas. Pruébalo varias veces: queda claro que hay una incertidumbre considerable en este enfoque. Dado\(\lambda_1\),\(\lambda_2\) se desprende de\(\lambda_1 + \lambda_2 = −2\beta \). Existen diversas formas de asignar una dimensión al atractor, como las dimensiones de capacidad y correlación mencionadas anteriormente. Se han realizado diversos intentos para verificar esta relación, pero las incertidumbres son considerables, y aunque los resultados parecen estar en el estadio adecuado, los resultados están apagados en diez o veinte por ciento típicamente. Parece que aún queda trabajo por hacer sobre este fascinante problema.

Lectura recomendada: capítulo 5 de Baker y Gollub, Dinámica caótica. La breve discusión anterior se basa en su presentación.