24.1: Las simetrías, otros ejes, el teorema del eje paralelo

Si un cuerpo tiene un eje de simetría, el centro de masa debe estar sobre ese eje, y es un eje principal de inercia. Para probar la declaración del centro de masa, tenga en cuenta que el cuerpo está formado por pares de partículas de igual masa en lados opuestos del eje, teniendo cada par su centro de masa en el eje, y el centro de masa del cuerpo es el de todos estos pares centros de masa, todos los cuales están en el eje.

Tomando este eje como eje x, simetría significa que para cada partícula en\((x,y,z)\) hay una de igual masa en\((x,−y,−z)\), por lo que los términos fuera de diagonal en la fila x y columna,\(-\sum m x y, \quad-\sum m x z\) todos suman cero, lo que significa que este es de hecho un eje principal.

El momento de inercia alrededor de un eje arbitrario a través del centro de masa, en la dirección del vector unitario\(\widehat{\vec{b}}\) es

\ begin {ecuación}
\ sum m\ left (\ vec {r} ^ {2} - (\ vec {r}\ cdot\ anchohat {b}) ^ {2}\ derecha) =\ overrightarrow {\ vec {b}} ^ {\ mathbf {T}}\ mathbf {I}\ anchohat {\ vec {b}} =b_ {x} ^ {^ 2} I_ {x} +b_ {y} ^ {2} I_ {y} +b_ {z} ^ {2} I_ {z}
\ final {ecuación}

El tensor de inercia sobre algún origen\(O^{\prime}\) ubicado en la posición\(a\) relativa al centro de masa se encuentra fácilmente para ser

\ begin {ecuación}
I_ {i k} ^ {\ prime} =I_ {i k} +M\ left (\ mathbf {a} ^ {2}\ delta_ {i k} -\ mathbf {a} _ {i}\ mathbf {a} _ {k}\ derecha)
\ end {ecuación}

En particular, tenemos el teorema del eje paralelo: el momento de inercia alrededor de cualquier eje a través de algún punto\(O^{\prime}\) es igual al que alrededor del eje paralelo a través del centro de masa O más\(M a_{\perp}^{2}, \text { where } a_{\perp}\) es la distancia perpendicular entre los ejes.

Ejercicio: ¡comprueba esto!