24.5: El tensor de inercia

Respecto a un cuerpo rígido como sistema de partículas individuales, encontramos la energía cinética

\ begin {array} {c}
T=\ suma_ {n}\ frac {1} {2} m_ {n} v_ {n} ^ {2} =\ suma_ {n}\ frac {1} {2} m_ {n}\ izquierda (\ vec {V} +\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {r} _ {n}\ derecha)\
=\ suma_ {n}\ frac {1} {2} m_ {n} V^ {2} +\ suma_ {n} m_ {n}\ vec {V}\ cdot\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {r} _ {n} +\ suma_ {n}\ frac {1} {2} m_ {n}\ izquierda (\ vec {n}\ Omega}\ veces \ vec {r} _ {n}\ derecha) ^ {2}
\ end {array}

El primer término en la última línea es

\ begin {ecuación}
\ suma_ {n}\ frac {1} {2} m_ {n} V^ {2} =\ frac {1} {2} M V^ {2}
\ final {ecuación}

donde M es la masa total del cuerpo.

El segundo término es

\ begin {ecuación}
\ suma_ {n} m_ {n}\ vec {V}\ cdot\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {r} _ {n} =\ vec {V}\ cdot\ vec {\ Omega}\ veces\ sum_ {n} m_ {n}\ vec {r} _ {n} =0
\ end {ecuación}

de la definición del centro de masa (nuestro origen aquí)\(\sum_{n} m_{n} \vec{r}_{n}=0\)

El tercer término puede ser reescrito:

\ begin {ecuación}
\ sum_ {n}\ frac {1} {2} m_ {n}\ izquierda (\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {r} _ {n}\ derecha) ^ {2} =\ suma_ {n}\ frac {1} {2} m_ {n}\ izquierda [\ Omega^ {2} r_ {n} ^ {2} -\ izquierda (\ vec {\ Omega}\ cdot\ vec {r} _ {n}\ derecha) ^ {2}\ derecha]
\ final {ecuación}

Aquí hemos usado

\ begin {ecuación}
|\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {r} |=\ Omega r\ sin\ theta,\ quad|\ vec {\ Omega}\ cdot\ vec {r} |=\ Omega r\ cos\ theta
\ fin {ecuación}

Alternativamente, podría usar la identidad del producto vectorial

\ begin {ecuación}
(\ vec {a}\ veces\ vec {b})\ veces\ vec {c} =-\ vec {a} (\ vec {b}\ cdot\ vec {c}) +\ vec {b} (\ vec {a}\ cdot\ vec {c})
\ end {ecuación}

junto con

\ begin {ecuación}
(\ vec {a}\ veces\ vec {b})\ cdot (\ vec {c}\ veces\ vec {d}) =(\ vec {a}\ veces\ vec {b})\ veces\ vec {c}\ cdot\ vec {d}
\ end {ecuación}

para encontrar

\ begin {ecuación}
(\ vec {a}\ veces\ vec {b})\ cdot (\ vec {c}\ veces\ vec {d}) = (\ vec {a}\ cdot\ vec {c}) (\ vec {b}\ cdot\ vec {d}) - (\ vec {a}\ cdot\ vec {d}) (\ vec {b}\ cdot\ vec {c})
\ final {ecuación}

La conclusión es que la energía cinética

\ begin {ecuación}
T=\ frac {1} {2} M V^ {2} +\ suma_ {n}\ frac {1} {2} m_ {n}\ izquierda [\ Omega^ {2} r_ {n} ^ {2} -\ izquierda (\ vec {\ Omega}\ cdot\ vec {r} _ {n}\ derecha) ^ {2}\ derecha] =T_ {\ mathrm {tr}} +T_ {\ mathrm {rot}}
\ end {ecuación}

una energía cinética traslacional más una energía cinética rotacional.

Advertencia sobre la notación: en este punto, las cosas se ponen un poco desordenadas. La razón es que para seguir avanzando en el manejo de la energía cinética rotacional, necesitamos escribirla en términos de los componentes individuales de los vectores de posición de\(n\) partículas\(\vec{r}_{n}\). Siguiendo a Landau y otros, escribiremos estos componentes de dos maneras diferentes:

\ begin {ecuación}
\ vec {r} _ {n} =\ izquierda (x_ {n}, y_ {n}, z_ {n}\ derecha)\ equiv\ izquierda (x_ {n 1}, x_ {n 2}, x_ {n 3}\ derecha)
\ end {ecuación}

La notación x, y, z es útil para dar una imagen más clara de la energía rotacional, pero la\(x_{n i}\) notación es esencial en el manejo de las matemáticas, como se hará evidente.

La solución de Landau a los demasiados sufijos para el problema de claridad es omitir el sufijo\(n\) etiquetando las partículas individuales, prefiero mantenerlo adentro.

Notación de suma de sufijo doble: para reducir el número de\(\Sigma\)'s en expresiones, seguiremos a Landau y otros al usar la regla de Einstein de que si un sufijo como\(i,j,k\) aparece dos veces en un producto, se debe sumar sobre los valores 1,2,3. Se llama “sufijo ficticio” porque no importa lo que le etiquetes, siempre y cuando aparezca dos veces. Por ejemplo,

el producto interno de dos vectores se\(\vec{A} \cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^{3} A_{i} B_{i}\) puede escribir como\(A_{i} B_{i} \text { or equally as } A_{k} B_{k}\). Además,\(\Omega_{i}^{2} \text { means } \Omega_{1}^{2}+\Omega_{2}^{2}+\Omega_{3}^{2}=\Omega^{2}\).

Pero no use letras griegas para sufijos ficticios en este contexto: el estándar es que se utilizan en ecuaciones relativistas para significar sumas sobre las cuatro dimensiones del espacio-tiempo, letras latinas para sumas sobre las tres dimensiones espaciales, como estamos haciendo aquí.

La energía cinética rotacional es entonces

\ begin {array} {l}
T_ {\ text {rot}} =\ frac {1} {2}\ suma_ {n} m_ {n}\ left (\ Omega_ {i} ^ {2} x_ {n i} ^ {2} -\ Omega_ {i} x_ {n i}\ Omega_ {k} x_ {n k}\ derecha)\
=\ frac {1} {2}\ suma_ {n} m_ {n}\ izquierda (\ Omega_ {i}\ Omega_ {k}\ delta_ {i k} x_ {n l} ^ {2} -\ Omega_ {i}\ Omega_ {k} x_ {n i} x_ {n k}\ derecha)\\
\ quad=\ frac {1} {2}\ Omega_ {i}\ Omega_ {k}\ suma_ {n} m_ {n}\ left (\ delta_ {i k} x_ {n l} ^ {2} -x_ {n i} x_ {n k}\ derecha)
\ end {array}

Advertencia: Esa primera línea es un poco confusa: copiar Landau, he escrito\(\Omega_{i}^{2} x_{n i}^{2}\), podrías pensar que eso es\(\Omega_{1}^{2} x_{n 1}^{2}+\Omega_{2}^{2} x_{n 2}^{2}+\Omega_{3}^{2} x_{n 3}^{2}\), pero un vistazo a la ecuación anterior (y la segunda línea de esta ecuación) deja claro que en realidad es\(\Omega^{2} r^{2}\). Landau debió haber escrito\(\Omega_{i}^{2} x_{n l}^{2}\). En realidad ni siquiera me gusta\(\Omega_{i}^{2}\) dar a entender una doble suma. El uso estándar en la relatividad, por ejemplo, es que ambos sufijos sean explícitos para que se implique la suma. En GR uno escribiría\(\Omega_{i} \Omega_{i} . \text { (Well, actually } \Omega_{i} \Omega^{i}\), pero esa es otra historia.)

De todos modos, avanzando, introducimos el tensor de inercia

\ begin {ecuación}
I_ {i k} =\ suma_ {n} m_ {n}\ izquierda (x_ {n l} ^ {2}\ delta_ {i k} -x_ {n i} x_ {n k}\ derecha)
\ final {ecuación}

En términos de lo cual la energía cinética del cuerpo rígido móvil y giratorio es

\ begin {ecuación}
T=\ frac {1} {2} M V^ {2} +\ frac {1} {2} I_ {i k}\ Omega_ {i}\ Omega_ {k}
\ end {ecuación}

Como es habitual, el lagrangiano\(L=T−V\) donde la energía potencial\(V\) es una función de seis variables en general, la ubicación del centro de masa y la orientación del cuerpo en relación con el centro de masa.

Landau escribe explícitamente el tensor de inercia como:

\ begin {ecuación}
I_ {i k} =\ left [\ begin {array} {ccc}
\ sum m\ left (y^ {2} +z^ {2}\ right) & -\ sum m x y & -\ sum m x z\
-\ sum m x y &\ sum m\ left (z^ {2} +x^ {2}\ right) & -\ m sum y z\\
-\ suma m x z & -\ suma m y z &\ suma m\ izquierda (x^ {2} +y^ {2}\ derecha)
\ end {array}\ derecha]
\ end {ecuación}

pero debes tenerlo en cuenta\(-\sum m x z \text { means }-\sum_{n} m_{n} x_{n} z_{n}\).