24.4: Movimiento general de un cuerpo rígido giratorio

Seguiremos la notación Landau (que a su vez tiende a ser bilingüe entre coordenadas\((x, y, z) \text { and } \left.\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) .\right)\). Observe que etiquetaremos los componentes\(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \text { not }\left(r_{1}, r_{2}, r_{3}\right)\) aunque llamemos al vector\(\vec{r}\). Nuevamente, estamos siguiendo a Landau.

Tomamos un sistema de coordenadas fijo, inercial (o de laboratorio) etiquetado\((X,Y,Z)\) y en este sistema el centro de masa del cuerpo rígido, etiquetado\(O\), está en\(\vec{R}\). Tenemos un conjunto cartesiano de ejes fijos en el cuerpo, origen en el centro de masa, y coordenadas en este sistema, vectores desde\(O\) hasta un punto en el cuerpo denotado por\(\vec{r}\) están etiquetados\((x,y,z)\) o\(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\).

Un vector desde el origen fijo inercial externo a un punto en el cuerpo es entonces

\(\vec{R}+\vec{r}=\vec{\rho}\)

digamos, como se muestra en la figura.

Supongamos ahora que en el tiempo infinitesimal\(dt\), el centro de masa del cuerpo se mueve\(d \vec{R}\) y el cuerpo gira a través\(d \vec{\phi}\). Luego, una partícula\(\vec{r}\) medida desde el centro de masa se moverá a través

\(d \vec{\rho}=d \vec{R}+d \vec{\phi} \times \vec{r}\)

Por lo tanto, la velocidad de esa partícula en el marco fijo, escribiendo la velocidad del centro de masa y la velocidad angular como

\(d \vec{R} / d t=\vec{V}, \quad d \vec{\phi} / d t=\vec{\Omega}\)

es

\(\vec{v}=\vec{V}+\vec{\Omega} \times \vec{r}\)

Ahora bien, al derivar la ecuación anterior, no hemos utilizado el hecho de que el origen\(O\) fijado en el cuerpo esté en el centro de masa. (Eso resulta ser útil en breve.) ¿Y si en cambio hubiéramos tomado algún otro origen\(O^{\prime}\) fijado en el cuerpo? ¿Encontraríamos la velocidad angular\(\overrightarrow{\Omega^{\prime}} \text { about } O^{\prime} \text { to be the same as } \vec{\Omega}\)? La respuesta resulta ser sí, ¡pero tenemos que demostrarlo! Aquí está la prueba:

Si la posición de\(O^{\prime} \text { relative to } O \text { is } \vec{a} \text { (a vector fixed in the body and so moving with it) then the velocity } \overrightarrow{V^{\prime}} \text { of } O^{\prime}\) es

\(\overrightarrow{V^{\prime}}=\vec{V}+\vec{\Omega} \times \vec{a}\)

Una partícula en\(\vec{r} \text { relative to } O \text { is at } \overrightarrow{r^{\prime}}=\vec{r}-\vec{a} \text { relative to } O^{\prime}\)

Su velocidad relativa a los ejes externos fijos es

\ begin {ecuación}
\ vec {v} =\ overrightarrow {V^ {\ prime}} +\ overrightarrow {\ omega^ {\ prime}}\ veces\ overrightarrow {r^ {\ prime}}
\ end {ecuación}

esto, por supuesto, debe ser igual

\ begin {ecuación}
\ vec {V} +\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {r} =\ vec {V} +\ vec {\ Omega}\ veces\ overrightarrow {r^ {\ prime}} +\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {a} =\ vec {V} ^ {\ prime} +\ vec {\ Omega} tiempos\ overrightarrow {r^ {\ prime}}
\ end {ecuación}

De ello se deduce que\(\overrightarrow{\Omega^{\prime}}=\vec{\Omega}\)

Esto significa que si describimos el movimiento de cualquier partícula en el cuerpo en términos de algún origen fijado en el cuerpo, más la rotación alrededor de ese origen, el vector de velocidad angular que describe el movimiento del cuerpo es el mismo independientemente del origen que escojamos. Entonces podemos, sin ambigüedades, hablar de la velocidad angular del cuerpo.

A partir de ahora, asumiremos que el origen fijado en el cuerpo está en el centro de masa.