24.7: Definición de un tensor

Tenemos una regla definida sobre cómo los componentes vectoriales se transforman bajo un cambio de base:\(x_{i}^{\prime}=R_{i j} x_{j}\). ¿Qué pasa con los componentes del tensor de inercia\(I_{i k}=\sum_{n} m_{n}\left(x_{n l}^{2} \delta_{i k}-x_{n i} x_{n k}\right)\)?

Lo haremos en dos partes, y una partícula a la vez. Primero, tomar ese segundo término para una partícula, tiene la forma\(-m x_{i} x_{k}\). Pero ya sabemos cómo se transforman los componentes vectoriales, así que esto debe ir a

\ begin {ecuación}
-m x_ {i} ^ {\ prime} x_ {k} ^ {\ prime} =R_ {i l} R_ {j m}\ izquierda (-m x_ {l} x_ {m}\ derecha)
\ end {ecuación}

La misma matriz de rotación\(R_{i j}\) se aplica a todas las partículas, por lo que podemos sumar sobre n.

De hecho, el tensor de inercia está conformado por elementos exactamente de esta forma en los nueve lugares, más términos diagonales\(m r_{i}^{2}\), obviamente invariantes bajo rotación. Para dejar esto claro, escribimos el tensor de inercia:

\ begin {ecuación}
\ left [\ begin {array} {ccc}
\ sum m\ left (y^ {2} +z^ {2}\ right) & -\ sum m x y & -\ sum m x z\
-\ sum m x y &\ sum m\ left (z^ {2} +x^ {2}\ right) & -\ sum m y z\
-\ m suma x & -\ sum m y z &\ sum m\ left (x^ {2} +y^ {2}\ derecha)
\ end {array}\ derecha] =\ sum m\ left (x^ {2} +y^ {2} +z^ {2}\ derecha)\ mathbf {1} -\ left [\ begin {array} {c}
\ sum m x^ {2}\ sum m x y &\ sum m x z\\ sum m x y &
\ sum m y &\ sum m y^ {2} &\ m y suma z\
\\ suma m x z &\ suma m y z &\ suma m z^ {2}
\ fin { array}\ derecha]
\ end {ecuación}

donde 1 es la matriz de identidad 3×3. (No debe confundirse con\(I!\))

Ejercicio: convencerse de que esto es lo mismo que\ (\ begin {ecuación}
\ mathbf {I} =\ sum m\ left [\ left (\ mathbf {x} ^ {\ mathbf {T}}\ mathbf {x}\ derecha)\ mathbf {1} -\ mathbf {x}\ mathbf {x} ^ {\ mathbf {T}}\ derecha]
\ end {ecuación}\)

Esta propiedad de transformación es la definición de un tensor tridimensional cartesiano de dos sufijos: así como un vector en este espacio se puede definir como una matriz de tres componentes que se transforman bajo un cambio de base aplicando la matriz de rotación\(x_{i}^{\prime}=R_{i j} x_{j}\),, un tensor con dos sufijos en el mismo espacio es una matriz bidimensional de nueve números que se transforman como

\(T_{i j}^{\prime}=R_{i l} R_{j m} T_{l m}\)

Escribiendo esto en notación matricial, y vigilando los índices, vemos que con la definición estándar de un producto matricial,\((\mathbf{A B})_{i j}=\mathbf{A}_{i k} \mathbf{B}_{k j}\)

\ begin {ecuación}
\ mathbf {T} ^ {\ prime} =\ mathbf {R}\ mathbf {T}\ mathbf {R} ^ {\ mathbf {T}} =\ mathbf {R}\ mathbf {T}\ mathbf {R} ^ {-\ mathbf {1}}
\ end {ecuación}

(La propiedad de transformación para nuestro tensor siguió inmediatamente de la de un vector, ya que nuestro tensor se construye a partir de vectores, pero por definición la misma regla se aplica a todos los tensores cartesianos, que no siempre son expresables en términos de componentes vectoriales).