24.8: Diagonalización del tensor de inercia
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El tensor inercial tiene la forma de una matriz simétrica real. Mediante una elección apropiada de ejes,\(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\) cualquier tensor de este tipo se puede poner en forma diagonal, de modo que
\ begin {ecuación}
T_ {\ text {rot}} =\ frac {1} {2}\ left (I_ {1}\ Omega_ {1} ^ {2} +I_ {2}\ Omega_ {2} ^ {2} +I_ {3}\ Omega_ {3} ^ {2}\ derecha)
\ end {ecuación}
Estos ejes, con respecto a los cuales el tensor de inercia es diagonal, se denominan los ejes principales de inercia, los momentos a su alrededor\(I_{1}, I_{2}, I_{3}\) los momentos principales de inercia.
Si ya estás familiarizado con la rutina para diagonalizar una matriz simétrica real, puedes saltarte esta revisión.
La diagonalización del tensor/matriz procede de la siguiente manera.
Primero, encuentre los valores propios\(\lambda_{i}\) y los vectores propios correspondientes\(\mathbf{e}_{i}\) del tensor inercial\(I\):
\ begin {ecuación}
\ mathbf {yo e} _ {\ mathbf {i}} =\ lambda_ {i}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {i}} (i=1,2,3,\ texto {no sumado})
\ end {ecuación}
(El\(\lambda_{i} \text { turn out to be the principal moments } I_{i}, \text { but we'll leave them as } \lambda_{i}\) por ahora, primero necesitamos establecer que son reales.)
Ahora como\(I\) es real y simétrico,\(\mathbf{I}^{\mathrm{T}}=\mathbf{I}\) los valores propios son reales. Para probar esto, tome la ecuación\(\mathbf{e}_{1}\) anterior y premultiplique por el vector de fila\(\mathbf{e}_{1}^{* \mathrm{T}}\), el conjugado complejo transpone:
\ begin {ecuación}
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}} ^ {*\ mathrm {T}}\ mathbf {I}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}} =\ lambda_ {1}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}} ^ {\ mathbf {*}\ mathbf {T}}\ mathbf {e}} _ {\ mathbf {1}}
\ final {ecuación}
El lado izquierdo es un número real: esto se puede establecer tomando su complejo conjugado. ¡El hecho de que el tensor sea real y simétrico es crucial!
\ begin {ecuación}
\ left (e_ {1 i} ^ {*} I_ {i j} e_ {1 j}\ derecha) ^ {*} =e_ {1 i} I_ {i j} ^ {*} e_ {1 j} ^ {*} =e_ {1 i} I_ {j i} e_ {1 j} ^ {*} =e_ {1 j} ^ {*} I_ {j i} e_ {1 i}
\ final {ecuación}
Y como estos son sufijos ficticios, podemos intercambiar los i's y j's para establecer que este número es idéntico a su complejo conjugado, de ahí que sea real. Claramente,\(\mathrm{e}_{1}^{* \mathrm{T}} \mathrm{e}_{1}\) es real y positivo, por lo que los valores propios son reales.
(Nota: una matriz simétrica real no necesariamente tiene raíces positivas: por ejemplo\ (\ left (\ begin {array} {ll}
0 & 1\\
1 & 0
\ end {array}\ right)\)
Tomando los valores propios para ser distintos (el caso degenerado es fácil de tratar) los vectores propios son ortogonales, por la prueba estándar, para esta matriz los vectores propios izquierdos (filas) tienen los mismos valores propios que su transposición, por lo que
\ begin {ecuación}
\ mathbf {e} _ {2} ^ {\ mathrm {T}}\ mathbf {I}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}} =\ lambda_ {\ mathbf {2}}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {2}} ^ {\ mathrm {T}}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}} =\ lambda_ {\ mathbf {1}}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {2}} ^ {\ mathrm {T}}\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}}
\ end {ecuación}
y\(\mathbf{e}_{2}^{\mathrm{T}} \mathbf{e}_{1}=0\).
La matriz de diagonalización está compuesta por estos vectores propios (asumidos normalizados):
\ begin {ecuación}
\ mathbf {R} =\ left (\ begin {array} {c}
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}} ^ {\ mathbf {T}}\\
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {2}} ^ {\ mathbf {T}}\\
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {3}} ^ {\ mathbf bf {T}}
\ end {array}\ derecha)
\ end {ecuación}
una columna de vectores de fila.
Para comprobar que este es de hecho un vector de rotación, de un conjunto ortogonal de ejes a otro, observe primero que su transposición\ (\ mathbf {R} ^ {\ mathrm {T}} =\ left (\ begin {array} {lll}
\ mathbf {e} _ {1} &\ mathbf {e} _ {2} &\ mathbf {e} _ {3}
\ end {array}\ right)\) es su inverso (según sea necesario para una rotación), ya que los vectores propios forman un conjunto ortonormal.
Ahora aplica esto\(R\) a un vector arbitrario:
\ begin {ecuación}
\ mathbf {x} ^ {\ prime} =\ mathbf {R}\ mathbf {x} =\ left (\ begin {array} {c}
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}} ^ {\ mathbf {T}}\
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {2}} ^ {\ mathbf {T}}\
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {3}} ^ {\ mathbf {T}}
\ end {array}\ derecha)\ mathbf {x} =\ izquierda (\ begin {array} {c}
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {1}} ^ {\ mathbf {T}}\ mathbf {x}\
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {2}} ^ {\ mathbf {T}}\ mathbf {x}\
\ mathbf {e} _ {\ mathbf {3}} ^ {\ mathbf {T}}\ mathbf {x}
\ end {array}\ derecha)
\ end {ecuación}
En lenguaje vectorial, estos elementos son solo\ (\ begin {ecuación}
\ vec {e} _ {1}\ cdot\ vec {x},\ text {etc., entonces} x_ {1} ^ {\ prime} =\ vec {e} _ {1}\ cdot\ vec {x}\ end {ecuación}
\), los componentes imprimados son solo los componentes de\(\vec{x}\) a lo largo del propio ejes vectoriales, por lo que el operador \(R\)da los componentes vectoriales relativos a estos ejes, lo que significa que ha girado el sistema de coordenadas a uno con los ejes principales del cuerpo son ahora los\(x_{1}, x_{2}, x_{3}\) ejes.
Podemos confirmar esto aplicando la rotación al propio tensor de inercia:
\ begin {ecuación}
\ mathbf {I} ^ {\ prime} =\ mathbf {R}\ mathbf {T}\ mathbf {R} ^ {\ mathbf {T}} =\ left (\ begin {array} {c}
\ mathbf {e} _ {1} ^ {\ mathrm {T}}\
\ mathbf {e} _ {2} ^ {\ mathrm {T}}}\\
\ mathbf {e} _ {3} ^ {\ mathrm {T}}
\ end {array}\ derecha)\ mathbf {I}\ left (\ begin { array} {lll}
\ mathbf {e} _ {1} &\ mathbf {e} _ {2} &\ mathbf {e} _ {3}
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {c}
\ mathbf {e} _ {1} ^ {\ mathrm {T}}\
\ mathbf {e} _ {2} ^ {\ mathrm {T}}\\
\ mathbf {e} _ {3} ^ {\ mathrm {T}}
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {lll}
\ lambda_ {1}\ mathbf {e} _ {1} &\ lambda_ {2}\ mathbf {e} _ {2} &\ lambda_ {3}\ mathbf {e} _ {3}
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {ccc}
\ lambda_ {1} & 0
0\\ 0 &\ lambda_ {2} &
0\\ 0 & amp;\ lambda_ {3}
\ end {array}\ derecha)
\ end {ecuación}
Examinemos la contribución de una partícula al tensor de inercia:
\ begin {ecuación}
\ mathbf {I} _ {\ mathbf {1}} =m\ izquierda [\ izquierda (\ mathbf {x} ^ {\ mathbf {T}}\ mathbf {x}\ derecha)\ mathbf {1} -\ mathbf {x}\ mathbf {x} ^ {\ mathbf {T}}\ derecha]
\ end {ecuación}
Tenga en cuenta que\(x\) aquí representa el vector de columna de las coordenadas de partículas, es decir, es solo\(\vec{r} !\) Y, cuidado con el tensor de inercia I y el tensor unitario 1.
Se transforman como\(\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{R} \mathbf{x}\), tenga en cuenta que esto concuerda con\(\mathbf{I}^{\prime}=\mathbf{R} \mathbf{I} \mathbf{R}^{\mathbf{T}}\). Dado que bajo rotación la longitud de un vector es invariante, es\(\mathbf{x}^{\prime \mathbf{T}} \mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{x}^{\mathbf{T}} \mathbf{x}, \text { and } \mathbf{R} \mathbf{x} \mathbf{x}^{\mathbf{T}} \mathbf{R}^{\mathbf{T}}=\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}^{\mathbf{\prime}} \mathbf{T}\) evidente que en el marco girado (el fotograma de vector propio) la partícula individual contribuye a los elementos diagonales
\ begin {ecuación}
m\ izquierda [\ izquierda (x_ {2} ^ {2} +x_ {3} ^ {2}\ derecha),\ izquierda (x_ {3} ^ {2} +x_ {1} ^ {2}\ derecha),\ izquierda (x_ {1} ^ {2} +x_ {2} ^ {2}\ derecha)\ derecha]
\ final {ecuación}
. Se nos han caído los primos, ya que vamos a estar trabajando en este marco natural a partir de ahora.