24.9: Ejes Principales Forma del Tensor Momento de Inercia
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Ya sabemos que la matriz transformada es diagonal, por lo que su forma tiene que ser
\ begin {ecuación}
\ sum_ {n} m_ {n}\ left (\ begin {array} {ccc}
x_ {n 2} ^ {2} +x_ {n 3} ^ {2} & 0 & 0 &
0\\ 0 & x_ {n 3} ^ {2} +x_ {n 1} ^ {2} & 0\\
0 & x_ {n 1} ^ {2}} +x_ {n 2} ^ {2}
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {ccc}
I_ {1} & 0 & 0\\
0 & I_ {2} & 0\\
0 & 0 & I_ {3}
\ end {array}\ derecha)
\ end {ecuación}
Los momentos de inercia, los elementos diagonales, son por supuesto todos positivos. Obsérvese que ninguno de ellos puede superar la suma de los otros dos, aunque puede ser igual en el caso (idealizado) de un objeto bidimensional. Para ese caso, llevándolo a tumbarse en el\((x,y)\) avión,
\ begin {ecuación}
I_ {z} =\ suma_ {n}\ izquierda (x_ {n} ^ {2} +y_ {n} ^ {2}\ derecha) =I_ {x} +I_ {y}
\ final {ecuación}