26.1: Momentum Angular y Velocidad Angular
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
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\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
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\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
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\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
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\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
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\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
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\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
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\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
A diferencia de la velocidad angular, el momento angular de un cuerpo depende del punto con respecto al cual se define. Por ahora, lo tomamos (siguiendo a Landau, por supuesto) como relativo al centro de masa, pero lo denotamos por\(\vec{L}\), siguiendo el uso moderno. Este momento angular “intrínseco” es como el momento angular de la Tierra a partir de su rotación diurna, a diferencia de su momento angular orbital al dar la vuelta al Sol.
Eso es
\ begin {ecuación}
\ vec {L} =\ suma_ {n}\ vec {r} _ {n}\ veces m_ {n}\ vec {v} _ {n} =\ suma_ {n}\ vec {r} _ {n}\ veces m_ {n}\ izquierda (\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {r} _ {n}\ derecha) =\ suma_ {n} m_ {n}\ izquierda [r_ {n} ^ {2}\ vec {\ Omega} -\ vec {r} _ {n}\ izquierda (\ vec {r} _ {n}\ cdot\ vec {\ Omega}\ derecha)\ derecha] =\ mathbf {I}\ vec {\ Omega}
\ fin { ecuación}
donde\(I\) esta el tensor de inercia: esto solo significa\(L_{i}=I_{i k} \Omega_{k}\)
Explícitamente, tomando como ejes los\(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\) ejes principales,
\ begin {ecuación}
L_ {1} =I_ {1}\ Omega_ {1},\ quad L_ {2} =I_ {2}\ Omega_ {2},\ quad L_ {3} =I_ {3}\ Omega_ {3}
\ end {ecuación}
Para cualquier cosa con simetría inercial esférica (¡como un cubo o un tetraedro!) \(\vec{L}=I \vec{\Omega}\)
Landau define un rotador como una colección de partículas masivas todas en una línea. (Supongo que eso incluye moléculas diatómicas, y, por ejemplo\(\mathrm{CO}_{2}\), descuidar electrones y tamaño nuclear). Sabemos que solo hay dos grados de libertad rotacional físicos para estos rotadores moleculares (gracias a la mecánica cuántica) y obviamente los dos ejes principales son perpendiculares a la línea de masas, y degenerados. Nuevamente, entonces,\(\vec{L}=I \vec{\Omega}\).