26.2: Precesión de un Top Simétrico
- Page ID
- 130582
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Un caso más interesante es la rotación libre (par externo cero) de una parte superior simétrica, es decir\(I_{1}=I_{2} \neq I_{3}\).
Podemos tomar como ejes cualquier par de ejes ortogonales, perpendiculares al eje de simetría del\(x_{1}, x_{2}\) cuerpo. Escogeremos\(x_{2}\) siguiendo a Landau, como perpendicular al plano que contiene\(\vec{L}\) y la posición momentánea del\(x_{3}\) eje, por lo que en el diagrama aquí\(x_{2}\) está perpendicularmente fuera del papel/pantalla, hacia el espectador.
Esto significa que el componente de momento angular\(L_{2}=0\) y por lo tanto\(\Omega_{2}=0 . \text { Hence } \vec{\Omega}\) está en el mismo plano ya que\(\vec{L}, x_{3}, \text { and so the velocity } \vec{v}=\vec{\Omega} \times \vec{r}\) de cada punto en el eje de la parte superior es perpendicular a este plano (en el papel/pantalla). El eje de la parte superior\(O x_{3}\) debe estar girando uniformemente alrededor de la dirección de\(\vec{L}\).
La velocidad de giro de la parte superior alrededor de su propio eje es
\ begin {ecuación}
\ Omega_ {3} =L_ {3}/I_ {3} =\ izquierda (L/I_ {3}\ derecha)\ cos\ theta
\ fin {ecuación}
El vector de velocidad angular se\(\vec{\Omega}\) puede escribir como una suma de dos componentes, uno a lo largo del eje del cuerpo\(O x_{3}\) y otro paralelo al momento angular\(\vec{L}\) (estos componentes se muestran discontinuas en la figura)
\ begin {ecuación}
\ vec {\ Omega} =\ vec {\ Omega} _ {\ text {precesión}} +\ vec {\ Omega} _ {3}
\ end {ecuación}
El componente a lo largo del eje del cuerpo\(O x_{3}\) no contribuye a la precesión, que todo proviene del componente a lo largo del vector de momento angular (fijo en el espacio).
La velocidad de precesión se desprende de
\ begin {ecuación}
\ Omega_ {\ text {precesión}}\ sin\ theta=\ omega_ {1}
\ end {ecuación}
y
\ begin {ecuación}
\ Omega_ {1} =L_ {1}/I_ {1} =\ izquierda (L/I_ {1}\ derecha)\ sin\ theta
\ fin {ecuación}
entonces
\ begin {ecuación}
\ Omega_ {\ text {precesión}} =L/I_ {1}
\ final {ecuación}
Tenga en cuenta también que la relación entre la tasa de precesión y el giro alrededor del eje es
\ begin {ecuación}
\ Omega_ {\ text {precesión}}/\ Omega_ {3} =\ izquierda (I_ {3}/I_ {1}\ derecha)\ seg\ theta
\ end {ecuación}
Esto significa que la tasa de precesión y el giro son muy comparables, excepto cuando\(\theta\) está cerca\(\pi / 2\), cuando la precesión se vuelve mucho más rápida. Recuerde que esta es la precesión del cuerpo sin par externo, y es claramente completamente diferente, una precesión mucho más rápida, que el caso familiar de una peonza rápida bajo gravedad.