26.4: Ecuaciones de Movimiento para Cuerpo Rígido con Fuerzas Externas

Traducción

Un cuerpo rígido libre tiene seis grados de libertad (por ejemplo, las coordenadas del centro de masa y la orientación del cuerpo). Por lo tanto, hay seis ecuaciones de movimiento, tres para la tasa de cambio de posición espacial del centro de masa, es decir, para los componentes de la velocidad\(\vec{V}\), y tres para la velocidad de cambio de orientación, la velocidad angular\(\vec{\Omega}\).

Estas ecuaciones son, por supuesto, nada más que las leyes de Newton, fácilmente derivadas sumando sobre el conjunto de ecuaciones\(\vec{f}_{i}=d\left(m_{i} \vec{v}_{i}\right) / d t\) para cada partícula.

Denotando el impulso total del cuerpo por\(\vec{P}\).

\ begin {ecuación}
\ suma_ {n}\ frac {d} {d t}\ izquierda (m_ {n}\ vec {v} _ {n}\ derecha) =\ frac {d\ vec {P}} {d t} =\ suma_ {n}\ vec {f} _ {n} =\ vec {F}
\ end {ecuación}

\(\text { and } \vec{P}=M \vec{V}, \text { where } \vec{V}=d \vec{R} / d t\)es la velocidad del centro de masa. (Esto se puede establecer diferenciando con respecto al tiempo la definición del centro de masa,\(\left.M \vec{R}=\sum_{n} m_{n} \vec{r}_{n} .\right)\)

La fuerza total sobre todas las partículas es una suma de la fuerza externa total sobre el cuerpo y la suma de las fuerzas internas entre las partículas, pero estas fuerzas internas vienen en pares iguales y opuestos, de la Tercera Ley de Newton, y por lo tanto se suman a cero.

La conclusión, entonces, es que la tasa de cambio de impulso de un cuerpo rígido es igual a la fuerza externa total sobre el cuerpo. Si esta fuerza proviene de un potencial independiente del tiempo, entonces

\ begin {ecuación}
\ vec {F} =-\ V parcial/\ parcial\ vec {R}
\ final {ecuación}

porque si el cuerpo se mueve a través\(\begin{equation}\delta \vec{R}\end{equation}\) (sin rotación, de ahí la derivada parcial), cada partícula individual se mueve a través de la misma\(\delta \vec{R}\), el trabajo realizado por el potencial externo sobre la\(n^{\text {th }}\) partícula es\(\vec{f}_{n}^{\operatorname{ext}} \cdot \delta \vec{R}=-\delta V_{n}\), y sumando sobre todas las partículas da\(\vec{F} \cdot \delta \vec{R}=-\delta V_{\mathrm{tot}}\), dando la ecuación anterior como\(\delta \vec{R} \rightarrow 0\).

Rotación

Para derivar la ecuación de movimiento para rotación de un cuerpo rígido, elegimos el marco inercial en el que el centro de masa está momentáneamente en reposo, y tomamos el centro de masa como origen.

La tasa de cambio del momento angular alrededor del centro de masa (origen),

\ begin {ecuación}
\ vec {L} =( d/d t)\ sum_ {n}\ vec {r} _ {n}\ veces\ vec {p} _ {n} =\ suma_ {n}\ izquierda [\ izquierda (\ punto {\ vec {r}} _ {n}\ veces\ vec {p} _ {n} _ {n}\ derecha) +\ izquierda (\ vec {n} c {r} _ {n}\ veces\ overrightarrow {\ vec {p}} _ {n}\ derecha)\ derecha] =\ suma_ {n}\ vec {r} _ {n}\ veces\ vec {f} _ {n} =\ vec {K}
\ final {ecuación}

donde dejamos caer el\(\dot{\vec{r}}_{n} \times \vec{p}_{n} \text { term because } \dot{\vec{r}}_{n}=\vec{v}_{n} \text { is parallel to } \vec{p}_{n}=m \vec{v}_{n}, \text { then we used } \vec{f}_{n}=\vec{p}_{n}\) para obtener el momento total de las fuerzas externas alrededor del centro de masa, el par.

El momento angular alrededor del centro de masa es el mismo en cualquier marco inercial, ya que el término extra al agregar una velocidad\(\vec{v}_{0}\) a cada masa es

\ begin {ecuación}
\ suma\ vec {r} _ {n}\ veces m_ {n}\ vec {v} _ {0} =-\ vec {v} _ {0}\ veces\ suma m_ {n}\ vec {r} _ {n} =0
\ end {ecuación}

a partir de la definición del centro de masa.

Si el centro de masa no está en el origen, denota las coordenadas de las partículas por\(\vec{\rho}_{n}=\vec{R}+\vec{r}_{n}\) en la notación habitual, entonces

\ begin {ecuación}
\ vec {L} _ _ {\ texto {nuevo origen}} =\ suma_ {n}\ vec {\ rho} _ {n}\ veces m_ {n}\ vec {v} _ {n} =\ suma_ {n}\ vec {r} _ {n}\ veces m_ {n}\ vec {v} _ {n} +\ sum_ {n}\ vec {R}\ veces m_ {n}\ vec {v} _ {n} =\ vec {L} _ {\ mathrm {cm}} +\ vec {R}\ veces\ vec {P}
\ final {ecuación}

una suma de un momento angular intrínseco (“spin”) y un momento angular extrínseco (“orbital”).

Del mismo modo, si el par de fuerzas externas en relación con el centro de masa es\(\vec{K}=\sum_{n} \vec{r}_{n} \times \vec{f}_{n}\) como se definió anteriormente, entonces en relación con el nuevo origen el par es

\ begin {ecuación}
\ vec {K} _ _ {\ texto {nuevo origen}} =\ suma_ {n}\ vec {\ rho} _ {n}\ veces\ vec {f} _ {n} _ {n} =\ suma_ {n}\ vec {R}\ veces\ vec {f} _ {n} +\ suma_ {n}\ vec {r} _ {n}\ tiempos\ vec {f} _ {n} =\ vec {R}\ veces\ vec {F} +\ vec {K} _ _ {\ mathrm {cm}}
\ final {ecuación}

es decir, el par sobre el nuevo origen es el par alrededor del centro de masa más el par alrededor del nuevo origen de la fuerza externa total que actúa en el centro de masa.

Un caso especial importante es el de una pareja: un par de fuerzas iguales pero dirigidas opuestamente, que actúan a lo largo de líneas paralelas pero separadas (como dos manos colocadas opuestamente girando un volante). Las fuerzas se suman a cero, por lo que a partir de la ecuación anterior una pareja ejerce el mismo par sobre cualquier origen.

De manera más general, el término par se suele utilizar (incluso por Landau) para referirse a cualquier conjunto de fuerzas que se suman a cero, pero dan un par distinto de cero debido a sus líneas de acción, y tal conjunto da el mismo par sobre cualquier origen.

Ejercicio: demostrar que para un cuerpo rígido que cae libremente en un campo gravitacional uniforme, el momento angular alrededor del centro de masa permanece constante, pero alrededor de otro punto en general va a estar cambiando. ¿Qué pasa con un cuerpo rígido cargado que se mueve en el espacio (sin gravedad) a través de un campo eléctrico uniforme?