30.2: Restricciones holonómicas y restricciones no holonómicas

Una esfera que rueda sobre un plano sin deslizarse está restringida en su movimiento de traslación y rotación por el requisito de que el punto de la esfera momentáneamente en contacto con el plano esté en reposo. ¿Cómo incorporamos esta condición en el análisis dinámico: el enfoque de menor acción, por ejemplo, o las ecuaciones newtonianas directas del movimiento?

Comenzaremos con un ejemplo más simple, el de un cilindro rodando en la dirección x, su orientación\(\phi\) definida como cero a medida que pasa el origen x, y su radio a. vemos inmediatamente que su orientación está dada únicamente por su posición (para no resbalar) por\(x=a \phi, \text { or } v-a \dot{\phi}=0\). La restricción nos permite eliminar una de las variables dinámicas de la ecuación. Si medimos su posición en algún momento posterior, conocemos el ángulo por el que giró. El mismo argumento funciona para un cilindro que rueda dentro de un cilindro más grande.

Una restricción en un sistema dinámico que se puede integrar de esta manera para eliminar una de las variables se denomina restricción holonómica. Una restricción que no se puede integrar se denomina restricción no holonómica.

Para una esfera que rueda sobre un plano rugoso, la restricción antideslizante resulta no holonómica.

Para ver esto, imagina una esfera colocada en el origen en el plano (x, y). Llama al punto en la cima de la esfera el Polo Norte. Ahora haga rodar la esfera a lo largo del eje x hasta que haya girado noventa grados. Su eje NS es ahora paralelo al eje x, el polo N apuntando en la dirección x positiva. Ahora rodarla noventa grados en una dirección paralela al eje y. El polo N sigue apuntando en la dirección x positiva, la esfera, tomada para tener radio unitario, está en\((\pi / 2, \pi / 2)\).

Ahora empieza de nuevo en el origen, el polo N en la parte superior. Esta vez, primero rodar la esfera noventa grados en la dirección y. El polo N apunta ahora a lo largo del eje y positivo. A continuación, rodar la esfera noventa grados en la dirección x: estamos de vuelta al punto\((\pi / 2, \pi / 2)\) pero esta vez el polo N apunta en la dirección y.

La conclusión es que, a diferencia de la caja cilíndrica, para una esfera rodante la restricción antideslizante no nos permite eliminar ninguna variable dinámica, dado que inicialmente la esfera está en el origen con el polo N en la parte superior, no existe una relación única entre la orientación \((\theta, \phi)\)y posición (x, y) en un punto posterior, tendríamos que conocer el historial rodante, y de hecho podemos retroceder al origen por una ruta diferente y en general el polo N no estará en la cima cuando regresemos.

Así que la ecuación de restricción, que se puede escribir

\ begin {ecuación}
\ vec {V} -a\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {n} =0
\ final {ecuación}

no nos permite eliminar una variable, ¡pero ciertamente juega un papel en la dinámica! Como hemos visto, la ecuación idéntica para el cilindro,\(d x / d t-a d \phi / d t=0, \text { trivially integrates to } x=a \phi+c\), vinculando de manera única el cambio en la orientación con el cambio de posición. Vemos que para una bola rodando en dos dimensiones, no puede haber tal integral.

Un enfoque posible es usar multiplicadores Lagrange para tener en cuenta la restricción, así como al derivar la ecuación para la catenaria la longitud fija de la cadena ingresada como restricción. Hacer esto para la bola rodante resulta llevar a un problema muy desordenado, por una vez, el enfoque avanzado de la dinámica no da sus frutos. Pero hay una mejor manera.