30.4: Bola con Fuerzas Externas Rodando en Plano Horizontal
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\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
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\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
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\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Así es como funciona para un ejemplo sencillo (hecho en Landau, y ver diagrama a continuación): la ecuación de movimiento de una esfera rodando sobre un plano horizontal fijo bajo una fuerza externa\(\vec{F}\) y par\(\vec{K}\)\).
Tomando la reacción en el plano para ser\(\vec{R}\) (y señalar que esto puede ser en cualquier dirección ascendente, no en general vertical), tenemos
\ begin {ecuación}
\ begin {array} {c}
M d\ vec {V}/d t=\ vec {F} +\ vec {R}\\
I d\ vec {\ Omega}/d t=\ vec {K} -a\ vec {n}\ veces\ vec {R}
\ end {array}
\ end {ecuación}
La ecuación de restricción, diferenciada, da\(\vec{V}=a \overrightarrow{\vec{\Omega}} \times \vec{n}\), por lo que la primera ecuación se puede escribir
\ begin {ecuación}
M a\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {n} =\ vec {F} +\ vec {R}
\ end {ecuación}
luego sustituyendo\(\dot{\vec{\Omega}}\) de la segunda ecuación,
\ begin {ecuación}
(I/a M) (\ vec {F} +\ vec {R}) =\ vec {K}\ veces\ vec {n} -a\ vec {R} +a\ vec {n} (\ vec {n}\ cdot\ vec {R})
\ end {ecuación}
Esta ecuación da los componentes de la fuerza de reacción como funciones de la fuerza externa y el par: las velocidades han sido eliminadas. Así que ahora podemos poner\(\vec{R}\) en la primera ecuación de movimiento dando la aceleración traslacional en términos de la fuerza externa y el par. Tenga en cuenta que cualquier componente vertical del par no\(\vec{K}\) afectará la reacción en el plano\(\vec{R}\) (solo haría girar la bola alrededor del punto de contacto) así que tenemos, usando\(I=\frac{2}{5} M a^{2}\).
\ begin {ecuación}
R_ {x} =\ frac {5} {7}\ izquierda (K_ {y}/a\ derecha) -\ frac {2} {7} F_ {x},\ quad R_ {y} =-\ frac {5} {7}\ izquierda (K_ {x}/a\ derecha) -\ frac {2} {7} F_ y {}
\ end {ecuación}
y la sustitución en las ecuaciones originales de movimiento da
\ begin {ecuación}
\ begin {alineado}
\ frac {d V_ {x}} {d t} &=\ frac {5} {7 M}\ izquierda (F_ {x} +\ frac {K_ {y}} {a}\ derecha)\
\ frac {d V_ {y}} {d t} &=\ frac {5} {7 M}\ izquierda (F_ {y} -\ frac {K_ {x}} {a}\ derecha)
\ final {alineado}
\ final {ecuación}
Ejercicio: interprete esto para el caso de par cero y para el caso de fuerza cero.
Landau resuelve tres problemas estáticos que podrían ser en un curso introductorio de física. Los vamos a omitir.