30.5: Rodar de Bolas en Plano Giratorio

(Los siguientes ejemplos son de Milne, Mecánica Vectorial.)

Una esfera está rodando sin deslizarse sobre un plano horizontal. El plano está rotando a velocidad angular constante\(\omega\).

Tenemos tres ecuaciones vectoriales: las ecuaciones de Newton para aceleración lineal y angular, y la condición de balanceo. Queremos encontrar el camino que toma la bola rodante sobre la superficie giratoria, es decir,\(\vec{r}(t)\). Usaremos nuestras tres ecuaciones para eliminar dos variables (vectoriales): la fuerza de reacción entre el avión y la pelota\(\vec{R}, \text { and the angular velocity } \vec{\Omega}\).

Las ecuaciones de movimiento de la esfera (radio\(a\), masa\(m\), centro\(\vec{r}\) medido en el laboratorio, horizontalmente desde el eje de rotación del plano) con\(\vec{R}\) la fuerza de contacto del plano sobre la esfera, son

\ begin {ecuación}
m\ vec {r} =\ vec {R} -m g\ vec {n},\ quad I\ overrightarrow {\ vec {\ Omega}} =-a\ overrightarrow {\ vec {n}}\ veces\ vec {R}
\ end {ecuación}

(Por supuesto, la fuerza gravitacional aquí solo está equilibrando la componente vertical de la fuerza de reacción, pero este ya no es el caso para el plano inclinado, tratado en la siguiente sección.)

Primero, eliminaremos la fuerza de reacción\(\vec{R}\) para obtener una ecuación de movimiento:

\ begin {ecuación}
I\ overrightarrow {\ vec {\ Omega}} =-a m\ overrightarrow {\ vec {n}}\ times (\ stackrel {\ ddot {\ vec {r}}} +\ overrightarrow {g n}) =\ nombreoperador {am}\ ddot {\ vec {r}}\ veces\ sombrero ancho {\ vec {n}}
\ final {ecuación}

La condición de rodadura es:

\ begin {ecuación}
\ punto {\ vec {r}} -a\ vec {\ Omega}\ veces\ sombrero ancho {\ vec {n}} =\ omega\ overrightarrow {\ vec {n}}\ veces\ vec {r}
\ end {ecuación}

siendo el lado derecho la velocidad local del plato giratorio,\(\vec{r}\) medida desde un origen en el centro de rotación.

Usaremos la condición rodante para eliminar\(\dot{\vec{\Omega}}\) y darnos una ecuación para el camino real de la esfera.

Primero, diferenciarlo (recuerde que ambos\(\widehat{\vec{n}}, \omega\) son constantes) para obtener

\ begin {ecuación}
\ ddot {\ vec {r}} -a\ overrightarrow {\ vec {\ Omega}}\ veces\ sombrero ancho {\ vec {n}} =\ omega\ overrightarrow {\ vec {n}}\ veces\ overrightarrow {\ vec {r}}
\ end {ecuación}

A continuación, toma la ecuación de movimiento\ (\ begin {ecuación}
I\ overrightarrow {\ vec {\ Omega}} =\ nombreoperador {am}\ ddot {\ vec {r}}\ veces\ anchohat {\ vec {n}}\ text {y}\ times\ anchohat {\ vec {n}}\ text {para obtener}
\ end {ecuación}\)

\ begin {ecuación}
I\ vec {\ Omega}\ veces\ sombrero ancho {\ vec {n}} =a m (\ vec {r}\ veces\ overrightarrow {\ vec {n}})\ veces\ sombrero ancho {\ vec {n}} =-\ nombreoperador {am}\ overrightarrow {\ vec {r}}
\ end {ecuación}

y armarlos para deshacerse de la velocidad angular,

\ begin {ecuación}
\ izquierda (1+a^ {2} m/I\ derecha)\ stackrel {\ ddot {r}} {r} =\ omega\ sombrero ancho {\ vec {n}}\ veces\ punto {\ vec {r}}
\ end {ecuación}

Esto se integra a

\ begin {ecuación}
\ punto {\ vec {r}} =\ izquierda (\ frac {\ omega} {1+a^ {2} m/I}\ derecha)\ sombrero ancho {\ vec {n}}\ veces\ izquierda (\ vec {r} -\ vec {r} _ {0}\ derecha)
\ end {ecuación}

que es solo la ecuación para el movimiento circular constante sobre el punto\(\vec{r}_{0}\).

Para una esfera uniforme,\(I=\frac{2}{5} M a^{2}, \text { so } \dot{\vec{r}}=\frac{2}{7} \omega \widehat{\vec{n}} \times\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right)\)

Por lo que la bola que rueda sobre la placa giratoria da vueltas en círculo, que podría ser cualquier círculo. Si se coloca suavemente en cualquier punto del plano giratorio, y se mantiene en su lugar hasta que esté al día (es decir, no resbalar) permanecerá en ese punto bastante tiempo (hasta que las condiciones menos que perfectas, como la resistencia del aire o la vibración, provoquen una deriva notable). Si se le da un codazo, se moverá en círculo. En clase, lo vimos circular muchas veces —eventualmente, se cayó, resultado de la resistencia del aire más las deficiencias de nuestro aparato, pero el camino circular fue muy claro.