30.6: Rodadura de Bolas en Plano Giratorio Inclinado

Tomaremos los vectores unitarios\(\begin{equation}\widehat{\vec{z}} \text { pointing vertically up, } \widehat{\vec{i}}\end{equation}\) perpendicularmente hacia arriba desde el plano, siendo α el ángulo entre estos dos vectores unitarios. (Necesitaremos un conjunto de vectores unitarios ortogonales\(\widehat{\vec{i}}, \widehat{\vec{j}}, \widehat{\vec{k}}\), no fijos en el plano, sino orientados apropiadamente, con\(\vec{k}\) horizontal.) El vector al centro de la esfera (radio\(a\), masa\(m\)) desde un origen en el eje de rotación, en un punto a por encima del plano, es\(\vec{r}\). La fuerza de reacción de contacto del plano sobre la esfera es\(\vec{R}\).

Las ecuaciones de movimiento son:

\ begin {ecuación}
m\ vec {r} =\ vec {R} -m g\ overrightarrow {\ vec {z}},\ quad I\ overrightarrow {\ vec {\ Omega}} =-a\ overrightarrow {\ vec {i}}\ veces\ vec {R}
\ final {ecuación}

y la ecuación de contacto rodante es\(\vec{r}-a \vec{\Omega} \times \overrightarrow{\vec{i}}=\overrightarrow{\omega i} \times \vec{r}\).

Primero, eliminamos\(\vec{R}\) de las ecuaciones de movimiento para dar

\ begin {ecuación}
\ vec {\ Omega} =( a m/I) (\ vec {r} +g\ vec {z})\ veces\ overrightarrow {\ vec {i}}
\ end {ecuación}

Tenga en cuenta que\(\dot{\vec{\Omega}} \cdot \widehat{\vec{i}}=0\), por lo que el giro en la dirección normal al plano es constante,\(\vec{\Omega} \cdot \overrightarrow{\vec{i}}=n\)

decir. (Ambas fuerzas en la esfera tienen un par cero alrededor de este eje).

Integrando,

\ begin {ecuación}
\ vec {\ Omega} +\ texto {const.} =( m a/I) (\ vec {r} +g t\ vec {z})\ veces\ vec {i}
\ end {ecuación}

Ahora elimine\(\vec{\Omega}\) multiplicando ambos lados por\(\times \vec{i}\) y usando la ecuación de contacto rodante

\ begin {ecuación}
\ punto {\ vec {r}} -a\ vec {\ Omega}\ veces\ overrightarrow {\ vec {i}} =\ omega\ overrightarrow {\ vec {i}}\ veces\ vec {r}
\ end {ecuación}

para encontrar:

\ begin {ecuación}
\ izquierda (m a^ {2}/I\ derecha) [(\ vec {r} +g t\ anchohat {\ vec {z}})\ veces\ overrightarrow {\ vec {i}}]\ veces\ vec {i} =a\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {i} +\ texto {const.} = over\ rightarrow {\ vec {r}} -\ omega\ vec {i}\ veces\ vec {r} +\ texto {const.}
\ end {ecuación}

entonces usando\ (\ begin {ecuación}
(\ vec {r}\ veces\ overrightarrow {\ vec {i}})\ veces\ vec {i} =-\ vec {r}, (\ anchohat {\ vec {z}}\ veces\ overrightarrow {\ vec {i}})\ veces\ vec {i} =-\ overrightarrow\ vec {j}}
\ end {ecuación}\), encontramos

\ begin {ecuación}
\ punto {\ vec {r}}\ izquierda (1+m a^ {2}/I\ derecha) +\ izquierda (m a^ {2}/I\ derecha) g t\ overrightarrow {\ vec {j}}\ sin\ alpha+\ text {const.} =\ overrightarrow {\ omega i}\ veces\ vec {r}
\ fin ecuación}

La constante se fija por la posición inicial\(\vec{r}_{0}\), dando finalmente

\ begin {ecuación}
\ punto {\ vec {r}} =\ frac {\ omega} {1+m a^ {2}/I}\ overrightarrow {\ vec {i}}\ veces\ izquierda [\ izquierda (\ vec {r} -\ vec {r} _ {0}\ derecha) +\ frac {m a^ {2}/I} {\ omega} t\ sombrero ancho {\ vec {k}}\ sin\ alfa\ derecha]
\ fin {ecuación}

El primer término entre corchetes daría el mismo movimiento circular que encontramos para el plano giratorio horizontal, el segundo término agrega un movimiento constante del centro de este círculo, en dirección horizontal (¡no hacia abajo del plano!) a velocidad constante\(\left(m a^{2} / I \omega\right) g \sin \alpha\).

(Esto es idéntico al movimiento de una partícula cargada en campos eléctricos y magnéticos cruzados).

En pocas palabras: ¡la noción intuitiva de que una bola rodando sobre un plato giratorio inclinado tendería a rodar cuesta abajo está equivocada! Recordemos que para una partícula que da vueltas en un campo magnético, si se agrega un campo eléctrico perpendicular al campo magnético, la partícula se mueve en un cicloide al mismo potencial eléctrico promedio, no tiene movimiento neto en la dirección del campo eléctrico, solo perpendicular a él. Nuestra bola rodante sigue una trayectoria cicloidal idéntica, manteniendo el mismo potencial gravitacional promedio.