10.S: Sistemas no conservadores (Resumen)

Las fuerzas de arrastre disipativas no son conservadoras y generalmente dependen de la velocidad. El capítulo\(4\) mostró que el movimiento de los sistemas dinámicos disipativos no lineales puede ser altamente sensible a las condiciones iniciales y puede conducir a un movimiento caótico.

Mecánica algebraica para sistemas no conservadores

Dado que las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas no son válidas para los grados de libertad no conservadores, se utilizan los siguientes tres enfoques para incluir grados de libertad no conservadores directamente en las formulaciones de mecánica lagrangiana y hamiltoniana.

1. Ampliar el número de grados de libertad utilizados para incluir todos los grados activos de libertad para el sistema, de manera que el sistema expandido sea conservador. Este es el enfoque preferido cuando es viable. Desafortunadamente, este enfoque generalmente no es práctico para manejar procesos disipados debido a la gran cantidad de grados de libertad que están involucrados en la disipación térmica.
2. Las fuerzas no conservadoras pueden introducirse directamente en las ecuaciones de la etapa de movimiento como fuerzas generalizadas\(Q_{j}^{EXC}\). Este enfoque se usa ampliamente. Para el caso de la dependencia lineal de la velocidad, la función de disipación de Rayleigh proporciona una manera elegante y poderosa de expresar las fuerzas generalizadas en términos de energías potenciales escalares.
3. Se pueden postular nuevos grados de libertad o fuerzas efectivas que luego se incorporan a lo lagrangiano o al hamiltoniano para imitar los efectos de las fuerzas no conservadoras.

Función de disipación de Rayleigh

Las fuerzas disipativas generalizadas que tienen una dependencia lineal de la velocidad pueden manejarse fácilmente en la mecánica lagrangiana o hamiltoniana introduciendo la poderosa función de disipación de Rayleigh\(\mathcal{R}(\mathbf{ \dot{q}})\) donde

\[\mathcal{R}(\mathbf{\dot{q}})\mathcal{\equiv }\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}b_{ij}\dot{q}_{i}\dot{q}_{j} \label{10.7}\]

Este enfoque se utiliza ampliamente en la física. Este enfoque se ha generalizado al definir una función de disipación de Rayleigh dependiente de la velocidad lineal

\[\mathbf{F}_{i}^{f}=-\frac{\partial R(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}})}{\partial \mathbf{\dot{q}}} \label{10.16}\]

donde la función de disipación Rayleigh generalizada\(\mathcal{R(}\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}})\) satisface la relación mecánica general de Lagrange

\[\frac{\delta L}{\delta q}-\frac{\partial R}{\partial \dot{q}}=0 \label{10.17}\]

Esta función generalizada de disipación de Rayleigh elimina la restricción previa a los procesos de disipación lineal, lo que amplía enormemente el rango de validez para usar la función de disipación de Rayleigh.

Disipación de Rayleigh en ecuaciones de movimiento de Lagrange

Las fuerzas disipativas lineales pueden incluirse directa y elegantemente en la mecánica lagrangiana utilizando la función de disipación de Rayleigh como fuerza generalizada\(Q_{j}^{f}\). Insertar la función de disipación Rayleigh\((10.4.12)\) en las ecuaciones de movimiento Lagrange generalizadas\((6.5.12)\) da

\[\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} =\left[ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k} \frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC}\right] - \frac{\partial \mathcal{R(}\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}})}{\partial \dot{q}_{j} } \label{10.18}\]

Donde\(Q_{j}^{EXC}\) corresponde a las fuerzas generalizadas que quedan después de la eliminación de la fuerza de fricción lineal generalizada, dependiente de la velocidad\( Q_{j}^{f}\). Las fuerzas holonómicas de restricción son absorbidas en el término multiplicador de Lagrange.

Disipación Rayleigh en mecánica hamiltoniana

Si las fuerzas no conservadoras dependen linealmente de la velocidad, y son derivables de la función de disipación de Rayleigh según la ecuación\((10.4.12)\), entonces el uso de la definición de impulso generalizado da

\[\begin{align} \dot{p}_{i} &=&\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}=\frac{ \partial L}{\partial q_{i}}+\left[ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC}\right] -\frac{\partial \mathcal{R(}\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}})}{\partial \dot{q}_{j}} \label{10.19} \\ \dot{p}_{i} &=&-\frac{\partial H(\mathbf{p,q},t\mathbf{)}}{\partial q_{i}}+ \left[ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}( \mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC}\right] -\frac{\partial \mathcal{R(}\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}})}{\partial \dot{q}_{j}} \label{10.20}\end{align}\]

Así, las ecuaciones de Hamilton se convierten

\[\dot{q}_{i} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \label{10.21} \]

\[\begin{align}\dot{p}_{i} &=&-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}+\left[ \sum_{k=1}^{m} \lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC} \right] -\frac{\partial \mathcal{R(}\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}})}{\partial \dot{q}_{j}} \label{10.22}\end{align}\]

La función de disipación Rayleigh\(\mathcal{R(}\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}})\) proporciona una manera elegante y conveniente de dar cuenta de las fuerzas disipativas tanto en la mecánica lagrangiana como en la hamiltoniana.

Lagrangianos disipativos o hamiltonianos

Se pueden postular nuevos grados de libertad o fuerzas efectivas que luego se incorporan a lo lagrangiano o al hamiltoniano para imitar los efectos de las fuerzas no conservadoras. Este enfoque ha sido utilizado para casos especiales.