10.5: Lagrangianos disipativos

La discusión previa de los sistemas no conservadores mencionó las siguientes tres formas de incorporar procesos disipativos a la mecánica lagrangiana o hamiltoniana.

1. Ampliar el número de grados de libertad para incluir todos los grados activos disipativos activos de libertad, así como los conservadores.
2. Utilizar fuerzas generalizadas para incorporar procesos disipativos.
3. Agrega términos disipativos al lagrangiano o hamiltoniano para imitar la disipación.

A continuación se ilustra el uso de lagrangianos disipativos.

Bateman señaló que un sistema disipativo aislado es físicamente incompleto, es decir, un sistema completo debe comprender al menos dos subsistemas acoplados donde la energía se transfiere de un subsistema disipador a un subsistema de absorción. Un sistema completo debe comprender tanto los sistemas de disipación como de absorción para asegurar que se conserve el sistema total lagrangiano y hamiltoniano, como se supone en la mecánica convencional lagrangiana y hamiltoniana. Tanto Bateman como Dekker han ilustrado que las ecuaciones de movimiento para un oscilador armónico unidimensional, libre y amortiguado linealmente son derivables utilizando el principio variacional de Hamilton a través de la introducción de un subsistema complementario ficticio que imita procesos disipativos. El siguiente ejemplo ilustra que derivar las ecuaciones de movimiento para el oscilador lineal amortiguado linealmente puede ser manejado por tres lagrangianos alternativos equivalentes no estándar que asumen: (1) un sistema multidimensional, (2) lagrangianos y hamiltonianos dependientes del tiempo explícitos, o (3) complejos no- Lagrangianos estándar.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): The linearly-damped, linear oscillator

Se han utilizado tres modelos dinámicos de juguete para describir el oscilador lineal amortiguado linealmente empleando lagrangianos no estándar muy diferentes para generar los hamiltonianos requeridos y derivar las ecuaciones correctas de movimiento.

1: Lagrangiano de doble componente:\(L_{Dual}\)

Bateman propuso un sistema dual que comprende una masa\(m\) sujeta a dos variables unidimensionales acopladas\((x,y)\) donde\(x\) es la variable observada y\(y\) es la variable espejo para el subsistema que absorbe la energía disipada por el subsistema\(x\).

Asumir un lagrangiano no estándar de la forma

\[L_{Dual}=\frac{m}{2}\left[ \dot{x}\dot{y}-\frac{\Gamma }{2}\left[ y\dot{x}-x \dot{y}\right] -\omega _{0}^{2}xy\right] \tag{$a$}\]

donde\(\Gamma =\frac{\lambda }{m}\) está el coeficiente de amortiguación. Minimizar por variación de la variable\(y\) auxiliar, es decir\(\Lambda _{y}L=0\), conduce a la ecuación desacoplada de movimiento para\(x\)

\[\frac{m}{2}\left[ \ddot{x}+\Gamma \dot{x}+\omega _{0}^{2}x\right] =0 \tag{$b$}\label{b1}\]

De manera similar, minimizar por variación de la variable primaria\(x,\) que es\(\Lambda _{x}L=0,\) conduce a la ecuación desacoplada de movimiento para\(y\qquad\)

\[\frac{m}{2}\left[ \ddot{y}-\Gamma \dot{y}+\omega _{0}^{2}y\right] =0 \tag{$c$}\label{c1}\]

Obsérvese que la ecuación de movimiento\ ref {b1}, que se obtuvo por variación de la variable auxiliar\(y,\) corresponde a la del habitual oscilador armónico unidimensional libre, linealmente amortiguado, para la\(x\) variable que disipa energía como se discute en el capítulo\(3.5\). La ecuación de movimiento\ ref {c1} se obtiene por variación de la variable primaria\(x\) y corresponde a un oscilador lineal libre, unidimensional, para la\(y\) variable que está absorbiendo la energía disipada por el\(x\) sistema disipador.

El momento generalizado,

\[p_{i}\equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\nonumber\]

se puede utilizar para derivar el correspondiente hamiltoniano

\[\begin{align} H_{Dual}(x,p_{x},y,p_{y}) &=\left[ p_{x}\dot{x}+p_{y}\dot{y}-L\right] \nonumber\\[4pt] &=\frac{ p_{x}p_{y}}{2m}-\frac{\Gamma }{2}\left[ xp_{x}-yp_{y}\right] +\frac{m}{2} \left( \omega _{0}^{2}-\left( \frac{\Gamma }{2}\right) ^{2}\right) xy \tag{$d$} \end{align}\]

Tenga en cuenta que este hamiltoniano es independiente del tiempo y, por lo tanto, se conserva para este sistema completo de doble variable. El uso de las ecuaciones de movimiento de Hamilton da las mismas dos ecuaciones de movimiento desacopladas obtenidas usando el Lagrangiano, es decir,\ ref {b1} y\ ref {c1}.

2: Lagrangiano dependiente del tiempo:\(L_{Damped}\)

El subsistema complementario del anterior Lagrangiano de doble componente, que se agrega al subsistema disipativo primario, es el adjunto a las ecuaciones para el subsistema primario de interés. En algunos casos, un conjunto de las soluciones de las ecuaciones complementarias se puede expresar en términos de las soluciones del subsistema primario permitiendo que las ecuaciones de movimiento se expresen únicamente en términos de las variables del subsistema primario. La inspección de las soluciones del oscilador armónico amortiguado, presentada en el capítulo\(3.5\), implica que\(x\) y\(y\) debe estar relacionada por la función

\[y=xe^{\Gamma t} \tag{$e$}\]

Por lo tanto, Bateman propuso un lagrangiano no estándar dependiente del tiempo\(L_{Damped}\) de la forma

\[L_{Damped}=\frac{m}{2}e^{\Gamma t}\left[ \dot{x}^{2}-\omega _{0}^{2}x^{2} \right] \tag{$f$}\]Este lagrangiano\(L_{Dampes}\) corresponde a un oscilador armónico para el cual la masa\(m=m_{0}e^{\Gamma t}\ \) se está acumulando exponencialmente con el tiempo para imitar la disipación exponencial de energía. El uso de este lagrangiano en las ecuaciones de Euler-Lagrange da la solución

\[me^{\Gamma t}\left[ \ddot{x}+\Gamma \dot{x}+\omega _{0}^{2}x\right] =0 \tag{$g$}\]

Si el factor fuera del corchete es distinto de cero, entonces la ecuación en el corchete debe ser cero. La expresión en el corchete es la ecuación de movimiento requerida para el oscilador lineal amortiguado linealmente. Este lagrangiano genera un impulso generalizado de

\[p_{x}=me^{\Gamma t}\dot{x}\notag\]

y el hamiltoniano es

\[H_{Damped}=p_{x}\dot{x}-L_{2}=\frac{p_{x}^{2}}{2m}e^{-\Gamma t}+\frac{m}{2} \omega _{0}^{2}e^{\Gamma t}x^{2} \tag{$h$}\]

El hamiltoniano depende del tiempo como se esperaba. Esto lleva a las ecuaciones de movimiento de Hamilton

\[\begin{align} \dot{x} &=\frac{\partial H_{Damped}}{\partial p_{x}}=\frac{p_{x}}{m} e^{-\Gamma t} \tag{$i$} \\[4pt] -\dot{p}_{x} &= \frac{\partial H_{Damped}}{\partial x}=m\omega _{0}^{2}e^{\Gamma t}x \tag{$j$}\end{align}\]

Tome la derivada de tiempo total de la ecuación\(h\) y use la ecuación\(i\) para sustituir\(\dot{p}_{x}\) da

\[me^{\Gamma t}\left[ \ddot{x}+\Gamma \dot{x}+\omega _{0}^{2}x\right] =0 \tag{$k$}\]

Si el término\(me^{\Gamma t}\) es distinto de cero, entonces el término entre paréntesis es cero. El término en el paréntesis es la ecuación de movimiento habitual para el oscilador armónico linealmente amortiguado.

3: Complejo Lagrangiano:\(L_{Complex}\)

Dekker propuso el uso de variables dinámicas complejas para resolver el oscilador armónico linealmente amortiguado. Explota el hecho de que, en principio, cada ecuación diferencial de segundo orden puede expresarse en términos de un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden. Esta característica es la diferencia esencial entre la mecánica lagrangiana y la hamiltoniana. \(q\)Sea complejo y supongamos que se puede expresar en forma de una variable real\(x\) como

\[q=\dot{x}-\left( i\omega +\frac{\Gamma }{2}\right) x \tag{$l$}\]

Sustituir esta compleja variable en la relación

\[\dot{q}+\left[ i\omega +\frac{\Gamma }{2}\right] q=0 \tag{$m$}\label{m}\]

conduce a la ecuación de segundo orden para la variable real\(x\) de

\[\ddot{x}+\Gamma \dot{x}+\omega _{0}^{2}=0 \tag{$n$}\label{n}\]

Esta es la ecuación de movimiento deseada para el oscilador armónico linealmente amortiguado. Este resultado también se puede mostrar tomando la derivada de tiempo de la Ecuación\ ref {m} y tomando solo la parte real, i.e.

\[\ddot{q}+i\omega \dot{q}+\frac{\Gamma }{2}\dot{q}=\ddot{q}+\left( i\omega - \frac{\Gamma }{2}\right) \dot{q}+\Gamma \dot{q}=\ddot{q}+\Gamma \dot{q} +\omega _{0}^{2}x=0 \tag{$o$}\]

Esta característica se explota utilizando el siguiente Lagrangiano

\[L_{Complex}=\frac{i}{2}\left( q^{\ast }\dot{q}-q\dot{q}^{\ast }\right) - \left[ \omega -i\frac{\Gamma }{2}\right] q^{\ast }q \tag{$p$}\]

donde\(\omega ^{2}\equiv \omega _{0}^{2}-\left( \frac{\Gamma }{2} \right) ^{2}\). El lagrangiano\(L_{Complex}\) es real para un sistema conservador y complejo para un sistema disipativo. El uso de la ecuación de Lagrange-Euler para la variación de\(q^{\ast }\), es decir\( \Lambda _{q^{\ast }}L_{Complex}=0\),, da la Ecuación\ ref {m} que conduce a la ecuación requerida de movimiento\ ref {n}.

Los momentos conjugados canónicos están dados por

\[p=\frac{\partial L_{Complex}}{\partial \dot{q}} \tilde{p}= \frac{\partial L_{Complex}}{\partial \dot{q}^{\ast }} \tag{$q$}\]

Los anteriores momentos lagrangianos más conjugados canónicamente conducen a los hamiltonianos complementarios

\[\begin{align} H_{Complex}(p,q,\tilde{p},q^{\ast }) &=\left( i\omega +\frac{\Gamma }{2} \right) \left( \tilde{p}_{^{\ast }}q^{\ast }-pq\right) \tag{$s$} \\[4pt] \tilde{H}_{Complex}(p,q,\tilde{p},q^{\ast }) &=\left( i\omega -\frac{\Gamma }{2}\right) \left( \tilde{p}_{^{\ast }}q^{\ast }-pq\right) \tag{$r$}\end{align}\]

Estos hamiltonianos dan a Hamilton ecuaciones de movimiento que conducen a las ecuaciones correctas de movimiento para\(q\) y\(q^{\ast }\)

Los ejemplos anteriores han demostrado que tres lagrangianos muy diferentes, no estándar, más sus correspondientes hamiltonianos, conducen todos a la ecuación correcta de movimiento para el oscilador armónico linealmente amortiguado. Esto ilustra el poder de usar lagrangianos no estándar para describir el movimiento disipativo en la mecánica clásica. Sin embargo, postular lagrangianos no estándar para producir las ecuaciones de movimiento requeridas parece ser de cuestionable utilidad. Se necesita un enfoque fundamental para construir una base firme sobre la cual se pueda basar la mecánica lagrangiana no estándar. La mecánica lagrangiana no estándar sigue siendo una frontera activa, aunque estrecha, de la mecánica clásica