11.1: Introducción a las Fuerzas Centrales Conservadoras de dos cuerpos

Las fuerzas centrales conservadoras de dos cuerpos son importantes en la física debido al papel fundamental que juegan en la naturaleza el Coulomb y las fuerzas gravitacionales. La fuerza de Coulomb juega un papel en la electrodinámica, molecular, atómica y física nuclear, mientras que la fuerza gravitacional juega un papel análogo en la mecánica celeste. Por lo tanto, este capítulo se centra en la física de los sistemas que involucran fuerzas centrales conservadoras de dos cuerpos debido a la importancia y ubicuidad de estas fuerzas centrales conservadoras de dos cuerpos en la naturaleza.

Una fuerza central conservadora de dos cuerpos tiene los siguientes tres atributos importantes.

1. Conservadora: Una fuerza conservadora depende únicamente de la posición de la partícula, es decir, la fuerza no depende del tiempo. Además el trabajo realizado por la fuerza que mueve un cuerpo entre dos puntos cualesquiera\(1\) y\(2\) es independiente del camino. Los campos conservadores se discuten en el capítulo\(2.10\).
2. Dos cuerpos: Una fuerza de dos cuerpos entre dos cuerpos depende únicamente de las ubicaciones relativas de los dos cuerpos que interactúan y no está influenciada por la proximidad de cuerpos adicionales. Para las fuerzas de dos cuerpos que actúan entre\(n\) cuerpos, la fuerza sobre el cuerpo\(1\) es la superposición vectorial de las fuerzas de dos cuerpos debido a las interacciones con cada uno de los otros\(n-1\) cuerpos. Esto difiere de las fuerzas de tres cuerpos donde la fuerza entre dos cuerpos cualquiera está influenciada por la proximidad de un tercer cuerpo.
3. Central: Un campo de fuerza central depende de la distancia\(r_{12}\) desde el origen de la fuerza en el punto\(1,\) hasta la ubicación del cuerpo en el punto\(2\), y la fuerza se dirige a lo largo de la línea que los une, es decir,\(\mathbf{ \hat{r}}_{12}\).

Una fuerza central conservadora, de dos cuerpos, combina los tres atributos anteriores y puede expresarse como,

\[\mathbf{F}_{21}\mathbf{=}f(r_{12}\mathbf{) \hat{r}}_{12}\label{11.1}\]

El campo de fuerza\(\mathbf{F}_{21}\) tiene una magnitud\(f(r_{12}\mathbf{)}\) que depende únicamente de la magnitud del vector de separación relativa\(\mathbf{r} _{12}=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\) entre el origen de la fuerza en el punto\(1\) y punto\(2\) donde actúa la fuerza, y la fuerza se dirige a lo largo de la línea que los une, es decir,\(\mathbf{\hat{r}}_{12}\).

Capítulo\(2.10\) mostró que si una fuerza central de dos cuerpos es conservadora, entonces se puede escribir como el gradiente de una energía potencial escalar\(U(r)\) que es una función de la distancia desde el centro del campo de fuerza.

\[\mathbf{F}_{21}=-\mathbf{\nabla }U(r_{12})\label{11.2}\]Como se discutió en el capítulo\(2\), la capacidad de representar la fuerza central conservadora mediante una función escalar simplifica\(U(r)\) enormemente el tratamiento de las fuerzas centrales.

El Coulomb y las fuerzas gravitacionales son verdaderas fuerzas conservadoras, de dos cuerpos, centrales, mientras que la fuerza nuclear entre nucleones en el núcleo tiene componentes de tres cuerpos. Dos cuerpos que interactúan a través de una fuerza central de dos cuerpos es el sistema más simple posible de considerar, pero la Ecuación\ ref {11.1} es aplicable igualmente para\(n\) los cuerpos que interactúan a través de fuerzas centrales de dos cuerpos porque el principio de superposición se aplica a las fuerzas centrales de dos cuerpos. Este capítulo se centrará primero en el movimiento de dos cuerpos que interactúan a través de fuerzas centrales conservadoras de dos cuerpos, seguido de una breve discusión sobre el movimiento de cuerpos que\(n>2\) interactúan.