12.6: Mecánica lagrangiana en un marco no inercial
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La derivación anterior de las ecuaciones de movimiento en el marco giratorio se basa en la mecánica newtoniana. La mecánica lagrangiana proporciona otra derivación de estas ecuaciones de movimiento para un marco de referencia giratorio al explotar el hecho de que el lagrangiano es un escalar que es independiente del marco, es decir, es invariante a la rotación del marco de referencia.
El Lagrangiano en cualquier marco viene dado por
\[L = \frac{1}{2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} - U(r) \label{12.29} \]
El producto escalar\(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}\) es el mismo en cualquier marco girado y se puede evaluar en términos de las variables del marco giratorio utilizando la misma descomposición del movimiento traslacional más rotacional que se usó anteriormente y dado en la ecuación\((12.4.4)\).
La ecuación\((12.4.4)\) descompone la velocidad en el marco inercial fijo\(\mathbf{v}_{fix}\) en cuatro términos vectoriales, la velocidad\(\mathbf{V}_{fix}\) de traslación del marco de traslación, la velocidad en el marco\(\mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}\) de rotación-traslación y la velocidad de rotación\((\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov})\). El uso de ecuaciones\ ref {12.29} y\((12.4.4)\), más la ecuación del apéndice\(19.2.21\) para los productos triples, da que el Lagrangiano evaluado usando\(\mathbf{v}_{fix}\cdot \mathbf{v}_{fix}\) iguales
\[L = \frac{1}{2} m \left[ \mathbf{V}_{fix}\cdot \mathbf{V}_{fix} + \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} \cdot \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} + 2\mathbf{V}_{fix} \cdot \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} + 2\mathbf{V}_{fix} \cdot (\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov})+2\mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} \cdot (\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov})+(\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov})^2 \right] −U(r) \label{12.30}\]
Esto se puede utilizar para derivar el impulso canónico en el marco giratorio
\[\mathbf{p}^{\prime\prime}_{rot} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}} = m [\mathbf{V}_{fix}+\mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} + \omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}] \label{12.31}\]
Las ecuaciones de Lagrange se pueden utilizar para derivar las ecuaciones de movimiento en términos de las variables evaluadas en el marco de referencia giratorio. Los derivados de Lagrange requeridos son
\[\frac{d}{dr}\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}} = m [\mathbf{A}_{fix}+\mathbf{a}^{\prime\prime}_{rot} + (\omega \times \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot})+(\dot{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov})]_{rot} \label{12.32}\]
y
\[\frac{\partial L}{ \partial \mathbf{r}^{\prime}} = −m [(\omega \times \mathbf{V}_{fix}) − (\omega \times \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}) − \omega \times (\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov})]_{rot} − \nabla U \label{12.33}\]
donde se ha utilizado el triple producto escalar\(19.2.21\), ecuación. Así, las ecuaciones de Lagrange dan para la base de marco giratorio que
\[m\mathbf{a}^{\prime\prime}_{rot} = −\nabla U − m[\mathbf{A}_{fix}+ (\omega \times\mathbf{V}_{fix}) +2 (\omega \times \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}) + \omega \times (\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov})+(\dot{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov})]_{rot} \label{12.34}\]
La fuerza externa se identifica como\(\mathbf{F}_{fixed} = −\nabla U\). La ecuación se\((12.3.7)\) puede utilizar para transformar entre las bases fijas y giratorias.
\[\mathbf{A}_{fix} = \left[ \mathbf{A}_{fix} + (\omega \times \mathbf{V})_{fix}\right]_{rot} \label{12.35}\]
Esto conduce a una fuerza efectiva en el marco de traslación no inercial más giratorio que corresponde a una fuerza newtoniana efectiva de
\[\mathbf{F}^{eff}_{rot} = m\mathbf{a}^{\prime\prime}_{rot} = \mathbf{F} − m[\mathbf{A}_{fix} + 2\omega \times \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} + \omega \times (\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov})+(\dot{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov})] \label{12.36}\]
donde\(\mathbf{A}_{fix}\) se expresa en el marco fijo. La derivación de la Ecuación\ ref {12.36} usando mecánica lagrangiana, confirma la fórmula idéntica\ ref {12.29} derivada usando mecánica newtoniana.
Los cuatro términos de corrección para la base del marco no inercial corresponden a las siguientes fuerzas efectivas.
- Aceleración traslacional:\(\mathbf{F}^{eff}_{mov} = −m\mathbf{A}_{fix}\) es la fuerza inercial habitual que se experimenta en un marco de referencia de aceleración lineal, y donde\(\mathbf{A}_{fix}\) está con respecto al marco fijo.
- Fuerza Coriolis: Se\(\mathbf{F}^{eff}_{cor} = −2m\omega \times \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}\) trata de un nuevo tipo de fuerza inercial que solo está presente cuando una partícula se mueve en el marco giratorio. Esta fuerza es proporcional a la velocidad en el marco giratorio y es independiente de la posición en el marco giratorio
- Fuerza centrífuga:\(\mathbf{F}^{eff}_{ef} = −m\omega \times (\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov})\) Esto se debe a la aceleración centrípeta de la partícula debido a la rotación del eje de movimiento alrededor del eje de rotación.
- Fuerza transversal (acimutal):\(\mathbf{F}^{eff}_{az} = −m\dot{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}\) Este es un término sencillo debido a la aceleración de la partícula debido a la aceleración angular de los ejes giratorios.
Las fuerzas inerciales anteriores son términos de corrección que surgen al tratar de extender las leyes de movimiento de Newton a un marco no inercial que involucra tanto la traslación como la rotación. Estas fuerzas correctoras a menudo se denominan fuerzas “ficticias”. Sin embargo, estas fuerzas no inerciales son muy reales cuando se ubican en el marco no inercial. Dado que los términos centrífugo y Coriolis son inusuales se discuten a continuación.