16.3: La formulación de densidad lagrangiana para sistemas continuos

Una dimensión espacial

En general la densidad lagrangiana puede ser una función de\(q, \nabla q, \frac{dq}{dt} , x, y, z\), y\(t\). Es de interés que el principio de Hamilton conduzca a un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales de movimiento, basadas en la densidad lagrangiana, que son análogas a las ecuaciones de movimiento de Lagrange para sistemas discretos. Al derivar las ecuaciones lagrangianas de movimiento en términos de la densidad lagrangiana usando el principio de Hamilton, la notación se simplifica si el sistema está limitado a una coordenada espacial\(x\). Además, es conveniente utilizar la notación compacta donde se escribe la derivada espacial\(q^{\prime} \equiv \frac{dq}{dx}\) y la derivada del tiempo es\(\dot{q} \equiv \frac{dq}{dt} \), y se supone que la densidad lagrangiana unidimensional es una función\(\mathfrak{L}(q, q^{\prime} , \dot{q}, x, t )\). La aparición de la derivada\(q^{\prime} \equiv \frac{dq}{dx}\) como argumento de la densidad de Lagrange es consecuencia de la continua dependencia de\(q\) on\(x\). En principio, los derivados de orden superior podrían ocurrir pero no surgen en la mayoría de los problemas de interés físico.

Suponiendo que la dimensión espacial es\(x\), entonces el principio de menor acción de Hamilton se puede expresar en términos de la densidad lagrangiana como

\[\delta S = \delta \int^{t_2}_{t_1} L(q, \dot{q},t )dt = \delta \int^{t_2}_{t_1} \int^{x_2}_{x_1} \mathfrak{L}(q, q^{\prime} , \dot{q}, x, t )dxdt \label{16.8}\]

Siguiendo el mismo enfoque utilizado en el capítulo\(5.2\), se supone que la trayectoria estacionaria para la integral de acción es descrita por la función\(q(x, t)\). Defina una función vecina usando una representación paramétrica\(q(x, t; \epsilon )\) tal que cuando\(\epsilon = 0\), la función extrema\(q = q(x, t)\) produzca la integral de acción estacionaria\(S\).

Supongamos que una fracción infinitossimal\(\epsilon\) de una función vecina\(\eta (x, t)\) se agrega a la ruta extrema\(q(x, t)\). Es decir, asumir

\[q(x, t; \epsilon ) = q(x, t) + \epsilon \eta (x, t) \label{16.9}\]

\[q^{\prime} (x, t; \epsilon ) \equiv \frac{dq(x, t; \epsilon ) }{dx} = \frac{dq(x, t)}{ dx} + \epsilon \frac{d\eta (x, t)}{ dx} = q^{\prime} (x, t) + \epsilon \eta^{\prime} (x, t) \label{16.10}\]

\[\dot{q}(x, t; \epsilon ) \equiv \frac{dq(x, t; \epsilon ) }{dt} = \frac{dq(x, t) }{dt} + \epsilon \frac{ d\eta (x, t)}{ dt} = \dot{q}(x, t) + \epsilon \dot{\eta}(x, t) \label{16.11}\]

donde se asume que tanto la función extrema como la función\(q(x, t)\) auxiliar\(\eta (x, t)\) son funciones bien comportadas de\(x\) y\(t\), con primeras derivadas continuas, y que\(\eta (x, t)=0\) en\((x_1, t_1)\) y\((x_2, t_2)\) porque, para todos los caminos posibles, la función\(q(x, t; \epsilon )\) debe ser idéntico a\(q(x, t)\) en los puntos finales de la trayectoria, i.e\(\eta (x_1, t_1) = \eta (x_2, t_2)=0\).

Una familia paramétrica de curvas\(S(\epsilon )\), en función del coeficiente de mezcla\(\epsilon \), es descrita por la función

\[S(\epsilon ) = \int^{t_2}_{t_1} \int^{x_2}_{x_1} \mathfrak{L}(q(x, t; \epsilon ), q^{\prime} (x, t; \epsilon ), \dot{q}(x, t; \epsilon ), x, t)dxdt \label{16.12}\]

Entonces el principio de Hamilton requiere que la integral de acción sea un valor de función estacionaria para\(\epsilon = 0\), es decir,\(S(\epsilon )\) es independiente del\(\epsilon\) cual se satisface si

\[\frac{\partial S(\epsilon ) }{\partial \epsilon} = \int^{t_2}_{t_1} \int^{x_2}_{x_1}\left( \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial q} \frac{\partial q }{\partial \epsilon } + \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{q} } \frac{\partial \dot{q} }{\partial \epsilon} + \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial q^{\prime}} \frac{\partial q^{\prime}}{ \partial \epsilon} \right) dxdt = 0 \label{16.13}\]

Las ecuaciones\ ref {16.9},\ ref {16.10}, y\ ref {16.11} dan los diferenciales parciales

\[\frac{\partial q}{ \partial \epsilon} = \eta (x, t) \label{16.14}\]

\[\frac{\partial q^{\prime}}{ \partial \epsilon} = \eta^{\prime} (x, t) \label{16.15}\]

\[\frac{\partial \dot{q} }{\partial \epsilon} = \dot{\eta}(x, t) \label{16.16}\]

Integración por partes tanto en los\(x\)\(t\) términos como en la Ecuación\ ref {16.13}, más usando el hecho de que\(\eta (x_1, t_1) = \eta (x_2, t_2)=0\) en ambos puntos finales, rinde

\[\int^{t_2}_{t_1} \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{q}} \frac{\partial \dot{q} }{\partial \epsilon} dt = − \int^{t_2}_{t_1} \frac{\partial}{\partial t }\left( \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{q} } \right) \frac{\partial q }{\partial \epsilon} dt \label{16.17}\]

\[\int^{x_2}_{x_1} \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial q^{\prime} } \frac{\partial q^{\prime}}{ \partial \epsilon } dx = − \int^{x_2}_{x_1} \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial q^{\prime} } \right) \frac{\partial q}{ \partial \epsilon} dx \label{16.18}\]

Por lo tanto, el principio de Hamilton, Ecuación\ ref {16.13} se convierte

\[\frac{\partial S(\epsilon )}{ \partial \epsilon } = \int^{t_2}_{t_1} \int^{x_2}_{x_1} \left[ \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial q} − \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{q}} \right) − \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial q^{\prime}} \right) \right] \eta (x, t)dxdt = 0 \label{16.19}\]

Dado que la función auxiliar\(\eta (x, t)\) es arbitraria, entonces el término integrando entre corchetes de la Ecuación\ ref {16.19} debe ser igual a cero. Es decir,

\[\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{q}} \right) + \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial q^{\prime}} \right) − \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial q} = 0 \label{16.20}\]

La ecuación\ ref {16.20} da las ecuaciones de movimiento en términos de la densidad lagrangiana que se ha derivado con base en el principio de Hamilton.

Tres dimensiones espaciales

La ecuación\((16.2.4)\) expresa el lagrangiano como una integral de la densidad lagrangiana sobre un único índice continuo\(q(x, t)\) donde la densidad lagrangiana es una función\(\mathfrak{L}(q, \frac{dq}{dt} , \frac{dq}{dx} , x, t)\). La derivación de las ecuaciones lagrangianas de movimiento en términos de la densidad lagrangiana para tres dimensiones espaciales implica la adición directa de las\(y\)\(z\) coordenadas y. Es decir, en tres dimensiones el desplazamiento del vector es expresado por el vector\(\mathbf{q} (x, y, z, t)\) y la densidad lagrangiana se relaciona con la lagrangiana por integración sobre tres dimensiones. Es decir, están relacionados por la ecuación

\[L = \int \mathfrak{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q} }{dt }, \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q}, x, y, z, t)d\tau \label{16.21}\]

donde, en coordenadas cartesianas, el elemento volumen\(d\tau = dxdydz\). La densidad lagrangiana es una función\(\mathfrak{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ dt} , \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q}, x, y, z, t)\) donde la cantidad de un campo se\(q(x, t)\) ha extendido a un vector espacial\(\mathbf{q} (x, y, z, t)\) y las derivadas espaciales se\(q^{\prime}\) han transformado en\(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q}\). La aplicación del método utilizado para el sistema espacial unidimensional, al sistema tridimensional, conduce al siguiente conjunto de ecuaciones de movimiento

\[\frac{\partial}{\partial t }\left(\frac{ \partial \mathfrak{L}}{\frac{ \partial \mathbf{q} }{\partial t}} \right) + \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{ \partial \mathfrak{L}}{\frac{ \partial \mathbf{q} }{\partial x}} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{ \partial \mathfrak{L}}{\frac{ \partial \mathbf{q} }{\partial y}} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{ \partial \mathfrak{L}}{\frac{ \partial \mathbf{q} }{\partial z}} \right) − \frac{\partial \mathfrak{L}} {\partial \mathbf{q}} = 0 \label{16.22}\]

donde las derivadas\(x, y, z\) espaciales han sido escritas explícitamente para mayor claridad.

Tenga en cuenta que las ecuaciones de movimiento, Ecuación\ ref {16.22}, tratan simétricamente las coordenadas espaciales y temporales. Esta simetría entre el espacio y el tiempo no cambia al multiplicar la coordenada espacial y temporal por factores numéricos arbitrarios. Esto sugiere la posibilidad de introducir un sistema de coordenadas de cuatro dimensiones

\[\phi_u \equiv \{x, y, z, \alpha t\}\nonumber\]

donde el parámetro\(\alpha\) se elige libremente. El uso de este formalismo de 4 dimensiones permite que la Ecuación\ ref {16.22} se escriba de manera más compacta como

\[\sum^4_{\mu} \frac{ \partial }{ \partial \phi_u} \left( \frac{\partial \mathfrak{L}}{ \frac{\partial \mathbf{q} }{\partial \phi_u }} \right) − \frac{\partial \mathfrak{L} }{\partial \mathbf{q}} = 0 \label{16.23}\]

Como se discutió en el capítulo\(17\), la mecánica relativista trata el tiempo y el espacio simétricamente, es decir, se\(\mathbf{q} (x, y, z, t)\) puede utilizar un vector de cuatro dimensiones que trata el tiempo y las tres dimensiones espaciales simétricamente e igualmente. Esta formulación de espacio-tiempo cuatridimensional permite que los primeros cuatro términos de la Ecuación\ ref {16.22} se condensen en un solo término que ilustra la simetría subyacente a la Ecuación\ ref {16.23}. Si la densidad lagrangiana es Lorentz invariante, y si\(\alpha = ic\), entonces la Ecuación\ ref {16.23} es covariante. Así, la formulación de densidad lagrangiana es ideal para el desarrollo de descripciones relativistamente covariantes de campos.