16.2: La Cadena Lineal Uniforme Continua

El Lagrangiano para la cadena de celosía discreta, para los modos longitudinales, viene dado por la ecuación\((14.10.3)\) para ser

\[L = \frac{1}{2} \sum^{n+1}_{j=1} \left( m\dot{q}^2_j - \kappa (q_{j-1} – q_j)^2\right)\label{16.1}\]

donde las\(n\) masas están unidas en serie a muelles\(n+1 \) idénticos de longitud\(d\) y constante de resorte\(\kappa \). Supongamos que el resorte tiene un área de sección transversal\(A\) y longitud uniformes\(d\). Entonces cada elemento de volumen de resorte\(\Delta \tau = Ad\) tiene una masa\(m\), es decir, la densidad de masa volumétrica\(\rho = \frac{m }{\Delta \tau}\) o\(m = \rho \Delta \tau \). El capítulo\(16.5\) mostrará que la constante de resorte\(\kappa = \frac{EA}{ d}\) donde\(E\) está el módulo de Young,\(A\) es el área de la sección transversal del elemento de cadena, y\(d\) es la longitud del elemento. Entonces la constante de resorte se puede escribir como\(\kappa = \frac{E\Delta \tau }{ d^2} \). Por lo tanto, la ecuación\ ref {16.1} se puede expresar como una suma sobre elementos de volumen\(\Delta \tau = Ad\)

\[L = \frac{1}{2} \sum^{n+1}_{j=1} \left( \rho \dot{q}^2_j − E \left(\frac{q_{j-1} -q_j}{d} \right)^2 \right) \Delta \tau \label{16.2}\]

En el límite eso\(n \rightarrow \infty\) y el espaciado\(d = dx \rightarrow 0\), entonces la suma en la Ecuación\ ref {16.2} se puede escribir como una integral de volumen donde\(x = jd\) está la distancia a lo largo de la cadena lineal y el elemento de volumen\(\boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{\tau} \rightarrow \mathcal{0}\). Entonces el lagrangiano se puede escribir como la integral sobre el elemento volumen\(d\tau\) en lugar de una suma sobre\(\Delta \tau \). Es decir,

\[L = \frac{1}{ 2} \int \left( \rho \dot{q}^2 − E \left(\frac{dq(x, t)}{ dx }\right)^2 \right) d\tau\label{16.3}\]

Se supone que la coordenada de cadena discreta\(q(t)\) es una función continua\(q(x, t)\) para la cadena uniforme. Así, la forma integral del Lagrangiano puede expresarse como

\[L = \frac{1}{2} \int \left( \rho \dot{q}^2 − E \left( \frac{dq(x, t) }{dx } \right)^2 \right) d\tau = \int \mathfrak{L}d\tau \label{16.4}\]

donde la función\(\mathfrak{L}\) se llama la densidad lagrangiana definida por

\[\mathfrak{L} \equiv \frac{1}{2} \left( \rho \dot{q}^2 − E \left(\frac{dq(x, t) }{dx }\right)^2 \right) \label{16.5}\]

La variable\(x\) en la densidad lagrangiana no es una coordenada generalizada; solo cumple el papel de un índice continuo jugado previamente por el índice\(j\). Para el caso discreto, cada valor de\(j\) define una coordenada generalizada diferente\(q_i\). Ahora para cada valor de\(x\) hay una función continua\(q(x, t)\) que es una función tanto de la posición como del tiempo.

Ecuaciones de movimiento de Lagrange aplicadas al Lagrangiano continuo en la Ecuación\ ref {16.4} da

\[\rho \frac{ d^2q}{ dt^2} − E \frac{d^2q}{ dx^2} = 0 \label{16.6}\]

Esta es la ecuación de onda familiar en una dimensión para una onda longitudinal en la cadena continua con una velocidad de fase

\[v_{phase} = \sqrt{\frac{E}{ \rho}} \label{16.7}\]

La cadena lineal continua también puede exhibir modos transversales que tienen una densidad lagrangiana donde el módulo de Young\(E\) es reemplazado por la tensión\(\tau\) en la cadena, y\(\rho\) es reemplazado por la densidad\(\mu\) de masa lineal de la cadena, conduciendo a una velocidad de fase para una onda transversal \(v_{phase} = \sqrt{\frac{\tau}{\mu}}\).