16.5: Sólidos Elásticos Lineales

La elasticidad es una propiedad de la materia donde las fuerzas atómicas en la materia actúan para restaurar la forma de un sólido cuando se distorsiona debido a la aplicación de fuerzas externas. Un material perfectamente elástico vuelve a su forma original si se elimina la fuerza externa que produce la deformación. Los materiales son elásticos cuando las fuerzas externas no superan el límite elástico. Por encima del límite elástico, los sólidos pueden exhibir flujo plástico y disipación de calor concomitante. Dicho comportamiento no elástico en los sólidos ocurre cuando están sujetos a fuertes fuerzas externas.

La discusión de los sistemas lineales, en capítulos\(3\) y\(14\), se enfocó en sistemas unidimensionales, como la cadena lineal, donde se ignoró la rigidez transversal de la cadena. Una extensión de la cadena lineal unidimensional a membranas bidimensionales, como una piel de tambor, es sencilla si la membrana es lo suficientemente delgada para que se pueda ignorar la rigidez de la membrana. La elasticidad para sólidos tridimensionales requiere tener en cuenta las fuertes fuerzas elásticas ejercidas contra cualquier cambio de forma, además de las fuerzas elásticas que se oponen al cambio de volumen. La rigidez de los sólidos a los cambios de forma, o volumen, se representa mejor usando los conceptos de tensión y deformación.

Las fuerzas en la materia se pueden dividir en dos clases;

1. fuerzas corporales, como la gravedad, que actúan sobre cada elemento de volumen, y
2. fuerzas superficiales que son las fuerzas que actúan en ambos lados de cualquier elemento de superficie infinitossimal dentro del sólido.

Las fuerzas superficiales pueden tener componentes a lo largo de la normal a la superficie infinitossimal, así como componentes de cizallamiento en el plano del elemento de superficie. Normalmente, los sólidos son elásticos a los componentes normales y de cizallamiento de las fuerzas superficiales, mientras que las fuerzas de cizallamiento en líquidos y gases conducen al flujo de fluido más fuerzas viscosas debido a la disipación de energía. Como se describe a continuación, las fuerzas que actúan sobre un elemento de superficie infinitossimal se expresan mejor en términos del tensor de tensión, mientras que la distorsión relativa de la forma, o volumen, del cuerpo se expresa mejor en términos del tensor de tensión. Los módulos de elasticidad relacionan la relación de los tensores de tensión y deformación correspondientes. Los módulos de elasticidad son constantes en sólidos elásticos lineales y por lo tanto la tensión es proporcional a la deformación siempre que las deformaciones no superen el límite elástico.

Tensor de estrés

Considere una superficie infinitossimal\(d\mathbf{A}\) de un elemento de volumen cerrado arbitrario\(dV\) dentro del medio. El elemento de área de superficie se define como un vector\(d\mathbf{A} = \mathbf{\hat{n}} dA\) donde\(\mathbf{\hat{n}}\) es el exterior normal a la superficie cerrada que encierra el elemento de volumen. Supongamos que\(d\mathbf{F}\) es el elemento de fuerza ejercido por el exterior sobre el material dentro del elemento de volumen. El tensor de tensión\(\mathbf{T}\) se define como la relación de\(d\mathbf{F}\) y\(d\mathbf{A}\) donde el vector de fuerza\(d\mathbf{F}\) viene dado por el producto interno del tensor de tensión\(\mathbf{T}\) y el vector de elemento de superficie\(d\mathbf{A}\). Es decir,

\[d\mathbf{F} = \mathbf{T}\cdot d\mathbf{A} \label{16.33}\]

Dado que ambos\(d\mathbf{F}\) y\(d\mathbf{A}\) son vectores, entonces la Ecuación\ ref {16.33} implica que el tensor de tensión debe ser un tensor de segundo rango como se describe en el apéndice\(19.5\), es decir, el tensor de tensión es análogo a la matriz de rotación o al tensor de inercia. Tenga en cuenta que si\(d\mathbf{F}\) y\(\mathbf{\hat{n}}d\mathbf{A}\) son colineales, entonces el tensor de tensión se\(\mathbf{T}\) reduce a la presión convencional\(P\). El tensor de tensión general es igual a la densidad de flujo de momento y tiene las dimensiones de presión.

Tensor de tensión

Las fuerzas aplicadas a un cuerpo sólido pueden conducir a una aceleración traslacional o rotacional, además de cambiar la forma o el volumen del cuerpo. Las fuerzas elásticas no actúan cuando se produce un desplazamiento general\(\boldsymbol{\xi}\) de un volumen infinitossimal, tal como está involucrado en el movimiento de traslación o rotación. Las fuerzas elásticas actúan para oponerse a las diferencias dependientes de la posición en el vector\(\boldsymbol{\xi}\) de desplazamiento, es decir, la deformación depende del producto tensor\(\boldsymbol{\nabla} \otimes \boldsymbol{\xi}\). Para un medio elástico, la deformación depende únicamente de la tensión aplicada y no del historial de carga previo.

Considerar que la materia en la ubicación\(\mathbf{r}\) está sujeta a un desplazamiento elástico\(\boldsymbol{\xi}\), y de manera similar en una ubicación desplazada\(\mathbf{r}^{\prime} = \mathbf{r}+ \sum_i \frac{\partial \boldsymbol{\xi}}{\partial x_i} dx_i\) donde\(x_i\) se encuentran las coordenadas cartesianas. El desplazamiento relativo neto entre\(\mathbf{r}\) y\(\mathbf{r}^{\prime}\) está dado por

\[d\xi^2 = \sum_i (dx_i + d\xi_i)^2 −\sum_i (dx_i)^2 = \sum_{ik} \left[ 2 \left( \frac{d\xi_i}{ dx_k} + \frac{d\xi_k}{ dx_i} \right) + \frac{d\xi_m}{ dx_i} \frac{d\xi_m}{ dx_k} \right] dx_i dx_k \label{16.34}\]

Ignorar la\(\frac{d\xi_m }{dx_i} \frac{d\xi_m }{dx_k}\) ecuación del término de segundo orden da que el\(i^{th}\) componente de\(d\xi_i\) es

\[d\xi_i = \sum_k \frac{1}{2} \left( \frac{d\xi_i}{ dx_k} + \frac{d\xi_k}{ dx_i} \right) dx_i dx_k \label{16.35}\]

Definir los elementos del tensor tensor a ser dado por

\[\sigma_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{d\xi_i }{dx_k} + \frac{d\xi_k }{dx_i} \right) \label{16.36}\]

entonces

\[d\xi_i = \sum_k \sigma_{ik} dx_i dx_k \label{16.37}\]

Así, el tensor de cepa\(\boldsymbol{\sigma}\) es un tensor de rango 2 definido como la relación entre el vector de cepa\(\boldsymbol{\xi}\) y el vector de área infinita\(d\mathbf{A}\).

\[d\boldsymbol{\xi} = \boldsymbol{\sigma}\cdot d\mathbf{A} \label{16.38}\]

donde la forma componente del tensor de tensión de rango -2 es

\[\boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{ 2 } \begin{vmatrix} \frac{d\xi_1 }{dx_1} & \frac{d\xi_1}{ dx_2} & \frac{d\xi_1 }{dx_3} \\ \frac{d\xi_2}{ dx_1} & \frac{d\xi_2 }{dx_2} & \frac{d\xi_2 }{dx_3} \\ \frac{d\xi_3}{ dx_1} & \frac{d\xi_3}{ dx_2 } & \frac{d\xi_3}{ dx_3} \end{vmatrix} \label{16.39}\]

La densidad de energía potencial para las fuerzas elásticas lineales es cuadrática en los componentes de deformación. Es decir, es de la forma

\[U = \sum_{ijkl} \frac{1}{2} C_{ijkl}\sigma_{ij}\sigma_{kl} \label{16.40}\]

donde\(C_{ijkl}\) es un tensor de rango 4. No quedan direcciones preferenciales para un cuerpo elástico isotrópico homogéneo que permite dos contracciones, reduciendo así la densidad de energía potencial al producto interno

\[U = \sum_{ik} \frac{1}{2} D_{ik} (\sigma_{ik})^2 \label{16.41}\]

Módulos de elasticidad

El módulo de elasticidad de un cuerpo se define como la pendiente de la curva de esfuerzo-deformación y así, en principio, es un tensor de rango 4 complicado que caracteriza las propiedades elásticas de un material. Así, la teoría general de la elasticidad es complicada porque las propiedades elásticas dependen de la orientación de la composición microscópica de la materia elástica. La teoría simplifica considerablemente para materiales lineales homogéneos e isotrópicos por debajo del límite elástico, donde la deformación es proporcional a la tensión aplicada. Es decir, el módulo de elasticidad luego se reduce por contracciones a un valor escalar constante que depende de las propiedades de la materia involucrada.

La densidad de energía potencial para material homogéneo, isotrópico, lineal, Ecuación\ ref {16.41}, se puede separar en componentes diagonales y fuera de la diagonal del tensor de tensión. Es decir,

\[U = \frac{1}{2} \left[ \lambda \sum_i (\sigma_{ii})^2 + 2\mu \sum_{ik} (\sigma_{ik})^2 \right] \label{16.42}\]

El primer término diagonal es el término de dilatación que corresponde a cambios en el volumen sin cambios de forma. El segundo término fuera de diagonal involucra los términos de cizallamiento que corresponden a cambios de la forma del cuerpo que también cambian el volumen. Las constantes\(\lambda \) y\(\mu \) son los módulos de elasticidad de Lamé los cuales son positivos. Los diversos módulos de elasticidad, correspondientes a diferentes distorsiones en la forma y volumen de cualquier cuerpo sólido, pueden derivarse de los módulos de Lamé para el material.

Los componentes de las fuerzas elásticas pueden derivarse del gradiente de la energía potencial elástica, Ecuación\ ref {16.42} mediante el uso de la ley de Gauss más cálculo diferencial vectorial. Los componentes de la fuerza elástica, derivados del tensor de tensión\(\boldsymbol{\sigma}\), pueden asociarse con los componentes correspondientes del tensor de tensión\(\mathbf{T}\). Así, para materiales lineales isotrópicos homogéneos, los componentes del tensor de tensión están relacionados con el tensor de tensión por la relación

\[T_{ij} = \lambda \delta_{ij} \sum_k \frac{\partial\xi_k }{\partial x_k} + \mu \left( \frac{d\xi_i}{ dx_j } + \frac{d\xi_j}{ dx_i} \right) = \lambda \delta_{ij} \sum_k \sigma_{kk} + 2\mu \sigma_{ij} \label{16.43}\]

donde se ha supuesto que\(\sigma_{ij} = \sigma_{ji}\). Los dos módulos de elasticidad\(\lambda \) y\(\mu\) son constantes dependientes del material. La ecuación\ ref {16.43} se puede escribir en notación tensora como

\[\mathbf{T} = \lambda tr (\boldsymbol{\sigma}) \mathbf{I} + 2\mu \boldsymbol{\sigma} \label{16.44}\]

donde\(tr(\sigma )\) es la traza del tensor de cepa y\(I\) es la matriz de identidad.

La ecuación\ ref {16.44} se puede invertir para dar los componentes del tensor de tensión en términos de los componentes del tensor de tensión.

\[\sigma_{ij} = \frac{1}{ 2\mu} \left[ T_{ij} − \frac{\lambda }{(3\lambda + 2\mu )} \sum_k T_{kk} \delta_{ij}\right] \label{16.45}\]

Los diversos módulos de elasticidad relacionan combinaciones de diferentes componentes tensores de tensión y tensión. Los siguientes cinco módulos elásticos se utilizan frecuentemente para describir la elasticidad en medios isotrópicos homogéneos, y todos están relacionados con los dos módulos de elasticidad de Lamé.

1) El módulo de Young\(E\) describe la elasticidad a la tracción que es la rigidez axial de la longitud de un cuerpo a la deformación a lo largo del eje de la fuerza de tracción aplicada.

\[E \equiv \frac{T_{11}}{ \sigma_{11}} = \frac{\mu (3\lambda + 2\mu )}{ (\lambda + \mu ) } \label{16.46}\]

2) El módulo a granel\(B = \frac{\Delta V}{V}\) define la dilatación o compresión relativa de un volumen corporal a la presión aplicada uniformemente en todas las direcciones.

\[B = \lambda + \frac{2}{ 3} \mu \label{16.47}\]

El módulo aparente es una extensión del módulo de Young a tres dimensiones y típicamente es mayor que\(E\). La inversa del módulo volumétrico se denomina compresibilidad del material.

3) El módulo de cizallamiento\(G\) describe la rigidez de cizallamiento de un cuerpo a deformaciones de cizallamiento que preservan el volumen La deformación cortante\(\sigma\) se convierte en un ángulo de deformación dado por la relación del desplazamiento a lo largo del eje de la fuerza de corte y el brazo de momento perpendicular. El módulo de cizallamiento\(G\) es igual a la constante de Lamé\(\mu \). Es decir,

\[G = \mu \label{16.48}\]

4) La relación de Poisson\(\nu\) es la relación negativa de la deformación transversal a axial. Es una medida de la tendencia conservadora de volumen de un cuerpo a contraerse en las direcciones perpendiculares al eje a lo largo del cual se estira. En términos de las constantes de Lamé, la relación de Poisson es igual

\[\nu = \frac{\lambda }{2 (\lambda + \mu )} \label{16.49}\]

Tenga en cuenta que para un material elástico isotrópico estable, la relación de Poisson está delimitada entre\(−1.0 \leq \nu \leq 0.5\) ellos para asegurar que el\(B\),\(\mu \) y los\(\lambda \) módulos tienen valores positivos. En el límite incompresible,\(\nu = 0.5\), y el módulo volumétrico y el parámetro Lame\(\lambda \) son infinitos, es decir, la compresibilidad es cero. Los sólidos típicos tienen relaciones de Poisson de\(\nu \approx 0.05\) si son duros y\(\nu = 0.25\) blandos.

La rigidez de los sólidos elásticos en términos de los módulos elásticos de los sólidos puede complicarse debido a la geometría y composición de los cuerpos sólidos. A menudo es más conveniente expresar la rigidez en términos de la constante de resorte\(\kappa \) donde

\[\kappa = \frac{dF}{ dx} \label{16.50}\]

La constante elástica es inversamente proporcional a la longitud del resorte porque la deformación del material se define como la deformación fraccionada, no la deformación absoluta.

16.5.4 Ecuaciones de movimiento en un medio elástico uniforme

El teorema de divergencia\((H.8)\) relaciona la integral de volumen de la divergencia de\(\mathbf{T}\) la densidad de fuerza vectorial\(\mathbf{F}\) que actúa sobre la superficie cerrada.

\[\mathbf{F} = \oint \mathbf{T}\cdot d\mathbf{A} = \int \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T}d\tau = \int \mathbf{f}d\tau \label{16.51}\]

Es decir, el producto interno del operador\(\boldsymbol{\nabla}\), y el tensor de tensión rank-2\(\mathbf{T}\), dan la densidad de fuerza vectorial\(\mathbf{f}\). Esta fuerza que actúa sobre la masa encerrada\(\oint \rho d\tau \), para el volumen cerrado, conduce a una aceleración\(\frac{\partial^2 \boldsymbol{\xi}}{ \partial t^2}\). Por lo tanto

\[\mathbf{F} = \oint \mathbf{T}\cdot d\mathbf{A} = \int \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T}d\tau = \oint \rho \frac{ \partial^2\boldsymbol{\xi}}{ \partial t^2} d\tau \label{16.52}\]

Utilice la ecuación\ ref {16.44} para relacionar el tensor\(\mathbf{T}\) de tensión con los módulos de elasticidad da

\[\rho \frac{ \partial^2\boldsymbol{\xi}_i }{\partial t^2} = \sum_j \left[ (\lambda + \mu ) \frac{\partial^2\boldsymbol{\xi}_j}{ \partial x_i \partial x_j} + \mu \frac{ \partial^2 \boldsymbol{\xi}_i }{\partial x^2_j} \right] \label{16.53}\]

donde\(i = 1, 2, 3\). En general esta ecuación es difícil de resolver. Sin embargo, para el caso simple de una onda plana en la\(i = 1\) dirección, el problema se reduce a las siguientes tres ecuaciones

\[\rho \frac{ \partial^2\boldsymbol{\xi}_1}{ \partial t^2 } = (\lambda + 2\mu ) \frac{\partial^2\boldsymbol{\xi}_1}{ \partial x^2_1} \label{16.54}\]

\[\rho \frac{\partial^2\boldsymbol{\xi}_2}{ \partial t^2} = \mu \frac{\partial^2\boldsymbol{\xi}_2}{ \partial x^2_1} \label{16.55}\]

\[\rho \frac{\partial^2\boldsymbol{\xi}_3}{ \partial t^2} = \mu \frac{\partial^2\boldsymbol{\xi}_3 }{\partial x^2_1} \label{16.56}\]

La ecuación\ ref {16.54} corresponde a una onda longitudinal que viaja con velocidad\(v = \sqrt{\frac{(\lambda +2\mu )}{ \rho}}\). Las ecuaciones\ ref {16.55},\ ref {16.56} corresponden a dos ondas transversales perpendiculares que viajan con velocidad\(v = \sqrt{\frac{\mu }{\rho }}\). Esto ilustra el hecho importante de que las ondas longitudinales viajan más rápido que las transversales en un sólido elástico. Ondas sísmicas en la Tierra, generadas por sismos, exhiben esta propiedad. Tenga en cuenta que las tensiones de cizallamiento no existen en líquidos y gases ideales ya que no pueden mantener las fuerzas de cizallamiento y por lo tanto\(\mu = 0\).