16.6: Teoría del Campo Electromagnético

Tensor de estrés Maxwell

Las formulaciones analíticas para sistemas continuos, desarrolladas para describir la elasticidad, son generalmente aplicables cuando se aplican a otros campos, como el campo electromagnético. El uso del tensor de tensión de Maxwell\(\mathbf{T}\), para describir el momento en el campo electromagnético, es un ejemplo importante de la aplicación de la mecánica continua en la teoría de campo.

La fuerza de Lorentz puede escribirse como

\[\mathbf{F} = \int \rho (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) d\tau = \int (\rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}) d\tau = \int \mathbf{f}d\tau \label{16.57}\]

donde la densidad de fuerza\(\mathbf{f}\) se define como

\[\mathbf{f} = (\rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}) \label{16.58}\]

Ecuaciones de Maxwell

\[\rho = \epsilon_0\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} \qquad \mathbf{J} = \frac{1}{ \mu_0} \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} − \epsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{ \partial t} \label{16.59}\]

se puede utilizar para eliminar las densidades de carga y corriente en la Ecuación\ ref {16.57}

\[\mathbf{f} =\epsilon_0 (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}) \mathbf{E} + \left( \frac{1 }{\mu_0} \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} − \epsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{ \partial t } \right) \times \mathbf{B} \label{16.60}\]

Cálculo vectorial da eso

\[\frac{\partial}{ \partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) = \frac{\partial\mathbf{E}}{ \partial t} \times \mathbf{B} + \mathbf{E}\times \frac{\partial\mathbf{B}}{ \partial t} \label{16.61}\]

mientras que la ley de Faraday da

\[\frac{\partial\mathbf{B}}{ \partial t } = −\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} \label{16.62}\]

La ecuación\ ref {16.62} permite que la ecuación\ ref {16.61} se reescriba como

\[\frac{\partial\mathbf{E}}{ \partial t} \times \mathbf{B} = + \frac{\partial }{\partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) − \mathbf{E}\times \frac{\partial\mathbf{B}}{ \partial t} = + \frac{\partial }{\partial t } (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) + \mathbf{E}\times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}) \label{16.63}\]

La ecuación\ ref {16.63} se puede insertar en la Ecuación\ ref {16.60}. Además, se\(\frac{1 }{\mu_0} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}) \mathbf{B}\) puede agregar un término ya\(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B} =0\) que permite que la ecuación 16.60 se escriba en forma simétrica

\[\begin{align} \mathbf{f} = \epsilon_0 (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}) \mathbf{E} + \frac{1 }{\mu_0} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}) \mathbf{B}+ \frac{1 }{\mu_0} (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{B} − \epsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{ \partial t} \times \mathbf{B} \label{16.64} \\ = \epsilon_0 (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}) \mathbf{E} + \frac{1 }{\mu_0} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}) \mathbf{B}+ \frac{1 }{\mu_0} (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{B}−\epsilon_0 \frac{\partial}{ \partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) − \epsilon_0 \mathbf{E}\times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}) \label{16.65} \end{align}\]

Uso de la identidad del vector

\[\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A}\times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}) + \mathbf{B}\times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})+(\mathbf{A} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B}+ (\mathbf{B} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{A} \label{16.66}\]

Vamos\(\mathbf{A} = \mathbf{B} = \mathbf{E}\), entonces

\[\boldsymbol{\nabla} ( E^2) = 2 \mathbf{E}\times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E})+2(\mathbf{E} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{E} \label{16.67}\]

Eso es

\[\mathbf{E}\times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla} ( E^2) − (\mathbf{E} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{E} \label{16.68}\]

Del mismo modo

\[\mathbf{B}\times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla} ( B^2) − (\mathbf{B} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B} \label{16.69}\]

Insertar ecuaciones\ ref {16.68} y\ ref {16.69} en la ecuación\ ref {16.65} da

\[\mathbf{f}=\epsilon_0 \left[ (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}) \mathbf{E}+ (\mathbf{E} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{E}− \frac{1}{ 2} \boldsymbol{\nabla}E^2 \right] + \frac{1 }{\mu_0} \left[ (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}) \mathbf{B}+ (\mathbf{B} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B}−\frac{1}{ 2} \boldsymbol{\nabla}B^2 \right] − \epsilon_0 \frac{\partial}{ \partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \label{16.70}\]

Esta fórmula complicada se puede simplificar definiendo el tensor de tensión Maxwell de rango 2\(\mathbf{T}\) que tiene componentes

\[T_{ij} \equiv \epsilon_0 \left( E_iE_j − \frac{1}{2} \delta_{ij}E^2 \right) + \frac{1 }{\mu_0} \left( B_iB_j − \frac{1}{2} \delta_{ij}B^2 \right) \label{16.71}\]

El producto interno del operador y el tensor de tensión Maxwell es un vector con\(j\) componentes de

\[(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T})_j = \epsilon_0 \left[ (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}) E_j+ (\mathbf{E} \cdot \boldsymbol{\nabla}) E_j − \frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}^2_jE^2 \right] + \frac{1 }{\mu_0} \left[ (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}) B_j+ (\mathbf{B} \cdot \boldsymbol{\nabla}) B_j − \frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}^2_jB^2 \right] \label{16.72}\]

La definición anterior del tensor de tensión Maxwell, más el vector Poynting\(\mathbf{S} = \frac{1 }{\mu_0} (\mathbf{E} \times \mathbf{B})\), permite que la ecuación de densidad de fuerza\ ref {16.58} se escriba en la forma

\[\mathbf{f} = \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T}−\epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \mathbf{S}}{ \partial t} \label{16.73}\]

El teorema de la divergencia permite que la fuerza total, actuando del volumen\(\tau \), sea escrita en la forma

\[\begin{align} \mathbf{F} = \int \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T}−\epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \mathbf{S}}{ \partial t} \right) d\tau \label{16.74} \\ = \oint \mathbf{T}\cdot d\mathbf{a}−\epsilon_0\mu_0 \frac{d}{dt} \int \mathbf{Sd}\boldsymbol{\tau} \label{16.75}\end{align}\]

Tenga en cuenta que, si el vector Poynting es independiente del tiempo, entonces el segundo término en la Ecuación\ ref {16.75} es cero y el tensor de tensión Maxwell\(\mathbf{T}\) es la fuerza por unidad de área, (tensión) que actúa sobre la superficie. El hecho de que\(\mathbf{T}\) sea un tensor rank-2 es evidente ya que la tensión representa la relación del vector fuerza-densidad\(d\mathbf{f}\) y el vector de área infinitossimal\(d\mathbf{a}\), que no necesariamente apuntan en las mismas direcciones.

Momentum en el campo electromagnético

Capítulo\(7.2\) mostró que el campo electromagnético lleva un impulso lineal\(q\mathbf{A}\) donde\(q\) está la carga sobre un cuerpo y\(\mathbf{A}\) es el potencial de vector electromagnético. Es útil utilizar el tensor de tensión Maxwell para expresar la densidad de momento directamente en términos de los campos eléctrico y magnético.

La ley del movimiento de Newton se puede utilizar para escribir la ecuación Ecuación\ ref {16.75} como

\[\mathbf{F}= \frac{d\mathbf{p}_{mech}}{ dt} = \oint \mathbf{T}\cdot d\mathbf{a}−\epsilon_0\mu_0 \frac{d}{dt} \int \mathbf{Sd}\boldsymbol{\tau} \label{16.76}\]

donde\(\mathbf{p}\) es el momento lineal mecánico total del volumen\(\tau \). La ecuación\ ref {16.76} implica que el campo electromagnético lleva un impulso lineal

\[\mathbf{p}_{field} = \epsilon_0\mu_0 \int \mathbf{Sd}\boldsymbol{\tau} \label{16.77}\]

El\(\oint \mathbf{T}\cdot d\mathbf{a}\) término en la Ecuación\ ref {16.76} es el impulso por unidad de tiempo que fluye hacia la superficie cerrada. En teoría de campo puede ser útil describir el comportamiento en términos de la densidad de flujo de momento\(\boldsymbol{\pi}\). Así, la densidad de flujo de momento\(\boldsymbol{\pi}_{field}\) en el campo electromagnético es

\[\boldsymbol{\pi}_{field}=\epsilon_0\mu_0 \mathbf{S} \label{16.78}\]

Entonces la Ecuación\ ref {16.76} implica que la densidad de flujo de momento total\(\boldsymbol{\pi} = \boldsymbol{\pi}_{mech}+\boldsymbol{\pi}_{field}\) está relacionada con el tensor de tensión de Maxwell por

\[\frac{\partial }{\partial t} (\boldsymbol{\pi}_{mech} + \boldsymbol{\pi}_{field}) = \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T} \label{16.79}\]

Es decir, al igual que el tensor de tensión de elasticidad, la divergencia del tensor de tensión de Maxwell\(\mathbf{T}\) es igual a la tasa de cambio de la densidad de impulso total, es decir,\(-\mathbf{T}\) es la densidad de flujo de momento.

Esta discusión sobre el tensor de tensión Maxwell y su relación con el impulso en el campo electromagnético ilustra el papel que las formulaciones analíticas de la mecánica clásica pueden desempeñar en la teoría de campo