11: Fotones: cuantificación de un solo modo de campo electromagnético

Objetivos

En este capítulo introducimos el concepto del fotón, como el cuántico de un modo del campo electromagnético. Mostramos que el número de fotones tiene un valor bien definido en un estado propio de energía del modo. Pero estos estados numéricos están muy lejos de nuestro concepto cotidiano de un campo monocromático. La luz en un campo láser monocromático altamente coherente se encuentra en un llamado estado coherente, que introducimos en breve.

Prerrequisitos

lements de la electrodinámica, ecuaciones de Maxwell. Densidad energética y energía del campo. Capítulo 2. El oscilador armónico clásico y el cuántico (Ver Capítulo 2).

Función Hamilton de un solo modo

Consideraremos dos espejos paralelos que reflejan perfectamente uno en\(z=0\), el otro en\(z=L\), y dejar que su superficie sea F. También consideramos una sola onda estacionaria electromagnética transversal donde el campo eléctrico linealmente polarizado oscila en la dirección x con la expresión clásica:

\(\mathbf{E}=\hat{\mathbf{x}} q(t) A \sin k z\)(11.1)

donde\(q(t)\) es una función dependiente del tiempo, a determinar. Para satisfacer la condición límite de que el componente paralelo de\(\mathbf{E}\) debe desaparecer en las superficies de los espejos, obtenemos que k no puede ser arbitrario, debe ser de la forma

\(k=n \pi / L\)(11.2)

donde\(n=1,2,\ldots\). Diferentes nn-s corresponden a diferentes k -s. Elegir un valor específico de k significa una onda estacionaria específica, que se llama modo del campo. Supongamos que\(q(t)\) es adimensional, entonces A tiene la dimensión del campo eléctrico. Según la ley de la electrodinámica, un campo eléctrico dependiente del tiempo siempre va acompañado de un campo magnético, como se desprende de la ecuación de Maxwell (ley de inducción de Faraday):

\ (\ punto {\ mathbf {B}} =-\ nabla\ veces\ mathbf {E} =-\ izquierda|\ begin {array} {ccc}
\ hat {\ mathbf {x}} &\ hat {\ mathbf {y}} &\ hat {\ mathbf {z}}\\
\ parcial_ {x} &\ parcial_ {y} &\\ mathbf {z}\\
q (t) A\ sin k z & 0 & 0
\ end {array}\ derecha|=-\ hat {\ mathbf {y}} q (t) A k\ cos k z\) (11.3)

Tenemos entonces

\(\mathbf{B}=-\hat{\mathbf{y}} A s(t) k \cos k z, \quad \text { where } \quad \dot{s}(t)=q(t)\)(11.4)

donde hemos asumido, que el campo magnético no tiene componente estático. Luego de la otra ecuación de Maxwell:

\ (\ punto {\ mathbf {E}} =c^ {2}\ nabla\ veces\ mathbf {B} =-c^ {2} s (t) A k\ izquierda|\ begin {array} {ccc}
\ hat {\ mathbf {x}} &\ hat {\ mathbf {y}} &\ hat {\ mathbf {z}}\\
\ al_ {x} &\ parcial_ {y} &\ parcial_ {z}\\
0 &\ cos k z & 0
\ end {array}\ derecha|\ ) (11.5)

obtenemos:

\ (\ begin {alineado}
\ hat {\ mathbf {x}}\ punto {q} (t) A\ sin k z &=-\ hat {\ mathbf {x}} c^ {2} s (t) A k^ {2}\ sin k z\
\ punto {q} (t) &=-c^ {2} k^ {2} s (t) =-\ omega^ {2} s (t)\\
\ ddot {q} (t) +\ omega^ {2} q (t) &=0
\ end {alineado}\) (11.6)

donde la frecuencia circular del modo

\(\omega=c k\)(11.7)

se ha introducido. La solución para\(q(t)\) es

\(q(t)=q_{0} \cos \left(\omega t+\varphi_{0}\right)\)(11.8)

que es bien conocida por la onda estacionaria.

Sabemos que esta es la solución para la posición de la ecuación de movimiento de un oscilador armónico lineal clásico de frecuencia circular\(ω\).

Ahora llega un punto crucial a la obra. Consideraremos esta solución como una correspondiente a un oscilador armónico ficticio de masa M y frecuencia circular\(ω\), que se puede obtener de un hamiltoniano clásico:

\(\mathcal{H}=\frac{p^{2}}{2 M}+\frac{M \omega^{2} q^{2}}{2}\)(11.9)

donde M es de dimensión\(\text { energy } \times \text { time }^{2}\), y p se define como el impulso canónico por

\(p:=M \dot{q}=-M \omega^{2} s(t)\)(11.10)

p es de la dimensión de la acción,\(\text { energy } \times \text { time }\).

Problema 11.1

Considerar la función Lagrange definida como\(\mathcal{L}=\frac{1}{2} M \dot{q}^{2}-\frac{1}{2} M \omega^{2} q^{2}\), y mostrar que el impulso canónico es\(p=M \dot{q}\), derivar la función Hamilton y las ecuaciones canónicas de movimiento.

Calculemos ahora la energía W que lleva el campo electromagnético en la cavidad. Este será el volumen integral de la densidad de energía del campo electromagnético sobre la cavidad formada por los espejos:

\ (\ begin {alineado}
W &=F\ int_ {0} ^ {L}\ izquierda (\ frac {1} {2}\ varepsilon_ {0}\ mathbf {E} ^ {2} +\ frac {1} {2} {2\ mu_ {0}}\ mathbf {B} ^ {2}\ derecha) d z=\\
&=F\ frac {1} {2} A^ {2} (\ varepsilon_ {0} q^ {2}\ underbrackets {\ int_ {0} ^ {L}\ sin ^ {2} k z d z} _ {=L/2} +s^ {2} (t)\ frac {1} {\ mu_ {0}}\ frac {\ omega^ {2}} c^ {2}}\ underbrackets {\ int_ {0} ^ {L}\ cos ^ {2} k z d z} _ {=L/2}) =\\
&=\ frac {F L} {2} A^ {2}\ frac {\ varepsilon_ {0}} {2}\ izquierda (q^ {2} +\ omega^ {2} s^ {2}\ derecha) =\ frac {V A^ {2}} {2}\ frac {\ varepsilon_ {0}} {2}\ izquierda (q^ {2} +\ frac {p^ {2}} {M^ {2}\ omega^ {2}}\ derecha) =\ frac {V A^ {2}} {2}\ varepa psilon_ {0}\ frac {1} {M\ omega^ {2} }\ izquierda (\ frac {M\ omega^ {2} q^ {2}} {2} {2} +\ frac {p^ {2}} {2 M}\ derecha)
\ final {alineado}\) (11.11)

donde\(V=FL\) esta el volumen de esta cavidad. Si comparamos este resultado con la forma de la función Hamilton, vemos que podemos identificar la energía total W con la función Hamilton\(\mathcal{H}\), si hacemos la siguiente identificación.

\(M=\frac{\varepsilon_{0} V A^{2}}{2 \omega^{2}}\)(11.12)

Vemos que la dinámica de un modo dado es la misma que la de un oscilador armónico. En el método que aplicamos aquí se ve fácilmente que la energía potencial del oscilador es la del campo eléctrico, mientras que la energía cinética del oscilador corresponde a la energía del campo magnético. Esta analogía fue realizada a finales del siglo XIX por Lord Rayleigh y J. Jeans, y esta línea de pensamiento también fue guardada por M. Planck cuando derivó su ley de la radiación del cuerpo negro. Al hacerlo, sin embargo, prescribió que los muchos modos en la cavidad intercambiaran su energía en cuantos, cuya energía es\(hν=ℏω\). Para llegar a este punto, consideramos la mecánica cuántica del oscilador asociada al modo por el método anterior.

En aras de la simplicidad hemos elegido aquí un modo de onda estacionaria, pero consideraciones similares se mantendrían para una onda transversal corriente, donde la intensidad del campo eléctrico es de la forma:

\(\mathbf{E}=\hat{\mathbf{x}} A\left(\alpha(t) e^{i k z}+\alpha^{*}(t) e^{-i k z}\right)\)(11.13)

Problema 11.2

Calcular el campo magnético a partir de las ecuaciones de Maxwell y derivar la ecuación que determina la dependencia del tiempo de la función compleja\(α(t)\).

Cuantización del modo

Dada la función Hamilton del modo campo como oscilador, la cuantificación se realiza reemplazando las variables canónicas q y p por operadores lineales y autounidos Q y P, y estipulando las relaciones de conmutación canónicas:

\([Q, P]=i \hbar\)(11.14)

donde del lado derecho tenemos la constante de Planck\(ℏ=h/2π\), como lo requieren las consecuencias experimentales de esta prescripción. Este método de describir el modo de campo electromagnético como un oscilador armónico cuantificado fue la idea de P. Dirac. El paso matemático de introducir operadores en lugar de las cantidades clásicas da como resultado la descripción adecuada y experimentalmente verificada de las propiedades cuánticas del campo electromagnético. Obsérvese que de acuerdo a la sección anterior Q correspondía a la parte eléctrica E, mientras que P a la parte magnética B del campo. Entonces, la no conmutatividad de estos operadores significa que no pueden tener tanto un valor agudo en la electrodinámica cuántica. La energía de un solo modo será un operador, también, y es el operador Hamilton del modo:

\(H=\frac{1}{2}\left(\frac{P^{2}}{M}+M \omega^{2} Q^{2}\right)\)(11.15)

Como sabemos, los autoestados del hamiltoniano juegan un papel excepcional en la teoría cuántica, y vamos a determinar estos estados.

De acuerdo con su definición actual Q y P no representan coordenada e impulso en sentido estricto, por lo tanto, los autoestados de los operadores H no pueden considerarse como funciones de la coordenada q\(u_{n}(q)\) en el sentido ordinario. Por lo tanto volvemos aquí a un punto más abstracto, y usaremos la notación introducida por Dirac. Un estado de este sistema cuántico será denotado en general por el símbolo\(|\psi\rangle\) y los autoestados de H por\(|u_{n}\rangle\), llamado ket. La ecuación de valor propio de H puede escribirse como:

\(H\left|u_{n}\right\rangle=\varepsilon_{n}\left|u_{n}\right\rangle\)(11.16)

donde\(ε_{n}\) es un número, mientras que\(|u_{n}\rangle\) es el eigenket de H. Para continuar, presentamos los siguientes nuevos operadores adimensionales

\ (\ begin {alineada}
a &=\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ izquierda (\ sqrt {\ frac {M\ omega} {\ hbar}} Q+i\ frac {P} {\ sqrt {M\ hbar\ omega}}\ derecha) =\ sqrt {\ frac {M\ omega} {2\ hbar}\ izquierda (q+i\ frac {P} {M\ omega}\ derecha)\\
a^ {\ daga} &=\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ izquierda (\ sqrt {\ frac {M\ omega} {\ hbar}} Q-i\ frac {P} {\ sqrt { M\ hbar\ omega}}\ derecha) =\ sqrt {\ frac {M\ omega} {2\ hbar}}\ izquierda (Q-i\ frac {P} {M\ omega}\ derecha)
\ final {alineado}\) (11.17)

Estos no son autounidos, son los colindantes unos de otros. No es difícil calcular su conmutador

\(\left[a, a^{\dagger}\right]=\frac{1}{2 \hbar}([Q,-i P]+[i P, Q])=1\)(11.18)

y expresar al hamiltoniano en la siguiente forma:

\(H=\hbar \omega\left(a^{\dagger} a+\frac{1}{2}\right)\)(11.19)

Problema 11.3

Probar (11.18) y (11.19).

Los valores propios y las funciones propias de H se pueden encontrar a partir de los valores propios y los propios valores del operador

\(N:=a^{\dagger} a\)(11.20)

Se ve fácilmente que los eigenkets de\(H=ℏω(N+1/2)\) serán idénticos a los de N:

\(\varepsilon_{n}=\hbar \omega\left(n+\frac{1}{2}\right)\)(11.21)

y los valores propios están en la relación

\(\)(11.22)

Se pueden probar los siguientes teoremas:

• Los valores propios nn de\(N:=a^{\dagger} a\) son los enteros no negativos:

\(n=0,1,2,\ldots\)(11.23)

• A cada uno de los valores propios de energía εnεn le corresponde un solo eigenket\(|u_{n}\rangle\), denotado a menudo simplemente por\(|n\rangle\). Esto significa que no\(ε_{n}\) es degenerado

\(H|n\rangle=\hbar \omega(n+1 / 2)|n\rangle\)(11.24)

La energía del estado fundamental del modo\(ℏω/2\) corresponde a\(n=0\). Los otros autoestados tienen energías más altas que difieren en múltiplos enteros\(ℏω\) de entre sí. Se trata de la cuantificación de la energía en el modo, encontrada heurísticamente por Einstein en 1905, en una de sus obras pioneras sobre el efecto fotoeléctrico. Si el modo está en el estado\(|n\rangle\), decimos que hay nn fotones en el modo con energía\(nℏω+ℏω/2\), donde la energía del estado fundamental a menudo\(ℏω/2\) se llama como la energía del punto cero. Vemos que el valor de\(ℏ\) está fijado por aquellas mediciones sobre la radiación del cuerpo negro y el fotoefecto, que establecen la discreción de la energía del campo, y los cuantos de energía son proporcionales a la frecuencia (circular) del modo.

El conjunto de estados\(|n\rangle, \text { i.e. }|0\rangle,|1\rangle,|2\rangle \ldots\) se llama estados de número de fotones, o simplemente estados numéricos del modo de campo.

• El efecto del operador\(a^{\dagger}\) en los eigenkets es el siguiente

\(a^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle\)(11.25)

lo que significa que\(a^{\dagger}\) eleva al estado\(|n\rangle\) a\(|n+1\rangle\), que tiene una energía por\(ℏω\) más. Decimos que\(a^{\dagger}\) crea un fotón en la modalidad,\(a^{\dagger}\) se denomina por lo tanto un operador de elevación o de creación. El factor numérico\(\sqrt{n+1}\) se introduce por conveniencia, en realidad es una constante de normalización.

• El efecto del operador aa en los eigenkets es el siguiente

\(a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle\)(11.26)

lo que significa que aa baja el estado\(|n\rangle\) a\(|n-1\rangle\), que tiene una energía por\(ℏω\) menos. Decimos que aa aniquila un fotón en la modalidad, a se llama por lo tanto un operador de bajada o aniquilación. Una vez más\(\sqrt{n}\) se introduce el factor numérico por conveniencia, en realidad es una constante de normalización.

• El estado\(|n=0\rangle:=|0\rangle\) es el estado de energía más bajo, o estado fundamental llamado a menudo el vacío. Según (11.26)

\(a|0\rangle=0\)(11.27)

donde el 0 del lado derecho no es un estado. Esto solo significa que no hay estados con energía por debajo del vacío.

Problema 11.4

Usando (11.26) y (11.25) muestran la validez de la ecuación de valor propio (11.21) de\(N=a^{\dagger}a\).

Problema 11.5

Demostrar que se puede crear un estado numérico a partir del vacío de acuerdo con la fórmula

\(|n\rangle=\frac{\left(a^{\dagger}\right)^{n}}{\sqrt{n !}}|0\rangle\)(11.28)

Otros estados del campo

Los estados del número de fotones son muy importantes en la electrodinámica cuántica, pero solo son un conjunto excepcional. Hay varios otros estados cuánticos de un solo modo. Se puede probar, sin embargo, que cualquier estado que caracterice el campo puede expandirse en términos de los estados numéricos, como una combinación lineal generalmente infinita de ellos:

\(|\psi\rangle=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}|n\rangle\)(11.29)

donde requerimos la igualdad\(\sum_{n=0}^{\infty}\left|c_{n}\right|^{2}=1\). Resulta que la generación real de estados numéricos en modo cavidad es una tarea experimental muy difícil.

La dependencia temporal del estado expandida en términos del estado numérico se desprende de las reglas generales de la mecánica cuántica, y viene dada por:

\(|\Psi(t)\rangle=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} e^{-i(n+1 / 2) \omega t}|n\rangle=e^{-i \omega t / 2} \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} e^{-i n \omega t}|n\rangle\)(11.30)

donde ponemos en los exponenciales los valores propios de energía pertenecientes al estado estacionario dado\(|n\rangle\).

Estados coherentes

Observamos aquí que los estados que más se acercan a nuestro concepto cotidiano de un modo de campo monocromático, no son los estados numéricos. La luz en un campo láser monocromático altamente coherente, dicen que de un láser rojo de He-Ne at\(632.8\mathrm{nm}\) está en un llamado estado coherente del modo. Los estados coherentes son etiquetados por un número complejo, denotado generalmente por\(α\), el estado mismo es entonces\(|\alpha\rangle\), que tiene la siguiente expansión en términos de los estados numéricos:

\(|\alpha\rangle=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-|\alpha|^{2} / 2} \frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n !}}|n\rangle\)(11.31)

Destacamos que\(α\) es un número complejo arbitrario. Los estados coherentes no son autoestados del modo Hamiltoniano y de N, por lo tanto el número de fotones no tiene un valor bien definido en ellos. Los estados coherentes de un oscilador ya han sido introducidos por Schrödinger en los primeros días de la mecánica cuántica. El uso de los estados coherentes en la óptica fotónica fue iniciado por R. Glauber (Premio Nobel 2005).

Lectura adicional

Bajo este enlace se puede encontrar la Conferencia Nobel de Roy Glauber con el título: Cien años de Quanta Luz.
http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2005/glauber-lecture.html

Problema 11.6

Demostrar que los coeficientes en esta expansión obedecen a la condición\(\sum_{n=0}^{\infty}\left|c_{n}\right|^{2}=1\).

La intensidad del campo resulta ser proporcional a\(|α|^{2}\), que es el valor de expectativa del número de fotones en el estado coherente:\(\).

Los operadores de las fortalezas de campo

Ahora volvemos a los campos eléctricos y magnéticos en el modo. En la expresión (11.1) reemplazamos la amplitud clásica qq por su contraparte cuántica, por el operador Q. Usando la expresión de Q by\(a\) y\(a^{†}\), y la identificación (11.12): (\(\frac{\varepsilon_{0} V A^{2}}{2 \omega^{2}}=M\)) obtenemos:

\(\mathbf{E}=\hat{\mathbf{x}} Q A \sin k z=\hat{\mathbf{x}} \frac{a+a^{\dagger}}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{\hbar}{M \omega}} A \sin k z=\hat{\mathbf{x}}\left(a+a^{\dagger}\right) \sqrt{\frac{\hbar \omega}{\varepsilon_{0} V}} \sin k z\)(11.32)

De esta manera la fuerza eléctrica archivada se ha convertido en un operador. De igual manera, el campo magnético se obtiene mediante el uso de la variante cuántica de\(s=-p /\left(M \omega^{2}\right)\)

\(\)(11.33)

Curiosamente los componentes perpendiculares de los campos\(mathbf{E}\) y los\(\mathbf{B}\) campos no se desplazan entre sí, excepto en los puntos en el espacio donde los campos son cero:

\ (\ begin {alineado}
\ mathbf {B} &=-\ hat {\ mathbf {y}} A S k\ cos k z=\ hat {\ mathbf {y}} A\ frac {P} {M\ omega^ {2}}\ frac {\ omega} {c}\ cos k z=\ hat {\ mathbf {y}} A\ sqrt {\ frac {M\ hbar\ omega} {2}}\ frac {1} {M\ omega^ {2}}\ frac {\ omega} {c} i\ izquierda (a^ {\ daga} -a\ derecha)\ cos k z=\\
&=\ sombrero {\ mathbf {y}} A\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2 M\ omega}}\ frac {1} {c} i\ izquierda (a^ {\ daga} -a\ derecha)\ cos k z=\ sombrero {\ mathbf {y}}\ sqrt {\ frac {\ hbar\ omega} {\ varepsilon_ {0} V} frac {1} {c} i\ izquierda (a^ {\ daga} -a\ derecha)\ cos k z
\ end {alineado}\) (11.34)

Observaciones finales

Hemos considerado en esta sección la forma más sencilla de introducir la noción correcta del fotón, que puede considerarse como la cantidad de excitación de un modo de campo. El número de fotones tiene un valor bien definido en un estado propio de energía del modo. Sin embargo, hay muchos más estados interesantes de un modo, que podrían crearse y detectarse en experimentos. Uno de los más importantes entre ellos es el estado coherente, que introdujimos en breve. Los estados numéricos, los estados coherentes, así como otros, más complicados, tienen también aplicaciones prácticas en mediciones de alta precisión realizadas por ondas de luz y en otros campos técnicos, también. Otro punto importante aquí es que una cavidad o espacio libre puede sostener, por supuesto, una gran cantidad de modos, en lugar de uno. Estos modos pueden tener frecuencias idénticas o diferentes, y su número en un intervalo de frecuencia es un parámetro importante de la situación física dada. La extensión de la teoría a campos multimodo y la discusión de otros estados posibles es el ámbito de la óptica cuántica, que podría ser tema de otro curso semestral completo.