2.1: Ondas

Una onda se define como una perturbación en algún sistema físico que es periódica tanto en el espacio como en el tiempo. En una dimensión, una onda generalmente se representa en términos de una función de onda: por ejemplo, \[\label{ew} \psi(x,t) = A\,\cos(k\,x-\omega\,t+\varphi),\]dónde\(x\) es una coordenada de posición,\(t\) representa el tiempo y\(A\),\(k\),\(\omega >0\). Por ejemplo, si estamos considerando una onda de sonido entonces\(\psi(x,t)\) podría corresponder a la perturbación de presión asociada con la onda en la posición\(x\) y el tiempo\(t\). Por otro lado, si estamos considerando una onda de luz entonces\(\psi(x,t)\) podría representar el campo eléctrico transversal de la onda. Como es bien sabido, la función coseno,\(\cos \theta\), es periódica en su argumento,\(\theta\), con punto\(2\pi\): en otras palabras,\(\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta\) para todos\(\theta\). La función también oscila entre los valores mínimo y máximo\(-1\) y\(+1\), respectivamente, según\(\theta\) varía. De ello se deduce que la función de onda (2.1.1) es periódica en\(x\) con periodo\(\lambda=2\pi/k\). En otras palabras,\(\psi(x+\lambda,t)=\psi(x,t)\) para todos\(x\) y\(t\). Además, la función de onda es periódica en\(t\) con periodo\(T=2\pi/\omega\). En otras palabras,\(\psi(x,t+T)=\psi(x,t)\) para todos\(x\) y\(t\). Finalmente, la función de onda oscila entre los valores mínimo y máximo\(-A\) y\(+A\), respectivamente, como\(x\) y\(t\) varían. El período espacial de la onda,\(\lambda\), se conoce como su longitud de onda, y el período temporal,\(T\), se llama su período. Además, la cantidad\(A\) se denomina la amplitud de onda, la cantidad\(k\) el número de onda y la cantidad\(\omega\) la frecuencia angular de la onda. Tenga en cuenta que las unidades de\(\omega\) son radianes por segundo. La frecuencia de onda convencional, en ciclos por segundo (también conocida como hertz), es\(\nu=1/T=\omega/2\pi\). Finalmente, la cantidad\(\varphi\), que aparece en la expresión (2.1.1), se denomina ángulo de fase, y determina las posiciones exactas de los máximos y mínimos de onda en un momento dado. De hecho, los máximos se localizan en\(k\,x-\omega\,t+\varphi = j\,2\pi\), donde\(j\) es un entero. Esto se deduce porque los máximos de\(\cos\theta\) ocurren en\(\theta=j\,2\pi\). Tenga en cuenta que un máximo dado satisface\(x=(j-\varphi/2\pi)\,\lambda+ v\,t\), donde\(v=\omega/k\). De ello se deduce que la onda máxima y, por implicación, toda la onda, se propaga en la\(x\) dirección positiva a la velocidad\(\omega/k\). El razonamiento análogo revela que\[\psi(x,t) = A\,\cos(-k\,x-\omega\,t+\varphi)=A\,\cos(k\,x+\omega\,t-\varphi),\] es la función de onda de una onda de amplitud\(A\), número de onda\(k\)\(\omega\), frecuencia angular y ángulo de fase\(\varphi\), que se propaga en la\(x\) dirección negativa a la velocidad\(\omega/k\).