2.2: Avión-ondas

Como acabamos de ver, una onda de amplitud$A$, número de onda$k$$\omega$, frecuencia angular y ángulo de fase$\varphi$, que se propaga en la$x$ dirección positiva, se representa por la siguiente función de onda:

$$\label{e10.1} \psi(x,t)=A\,\cos(k\,x-\omega\,t+\varphi).$$ Este tipo de onda se denomina convencionalmente onda plana unidimensional. Es unidimensional porque su función de onda asociada solo depende de la coordenada cartesiana única,$x$. Además, es una onda plana debido a que los máximos de onda, que se encuentran en

$$\label{e10.2} k\,x-\omega\,t+\varphi = j\,2\pi,$$ donde$j$ es un entero, consiste en una serie de planos paralelos, normales al$x$ eje, que están igualmente espaciados a una distancia$\lambda=2\pi/k$, y se propagan a lo largo del$x$ eje positivo a la velocidad$v=\omega/k$. Estas conclusiones siguen porque la Ecuación (2.2.2) se puede reescribir en la forma

$$\label{e10.3} x= d,$$ donde$d=(j-\varphi/2\pi)\,\lambda + v\,t$. Además, como es bien sabido, la Ecuación (2.2.3) es la ecuación de un plano, normal al$x$ eje, cuya distancia de aproximación más cercana al origen es$d$.

Figura 1: La solución de$\begin{equation}\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}=d\end{equation}$ es un plano.

La ecuación anterior también se puede escribir en forma libre de coordenadas

$$\label{e10.4} {\bf n}\cdot{\bf r} = d,$$ donde${\bf n} = (1,\,0,\,0)$ es un vector unitario dirigido a lo largo del$x$ eje positivo, y${\bf r}=(x,\,y,\,z)$ representa el desplazamiento vectorial de un punto general desde el origen. Debido a que no hay nada especial en la$x$ -dirección, se deduce que si${\bf n}$ se reinterpreta como un vector unitario apuntando en una dirección arbitraria entonces la Ecuación (2.2.4) puede reinterpretarse como la ecuación general de un plano. Como antes, el plano es normal a${\bf n}$, y su distancia de aproximación más cercana al origen es$d$. Ver Figura [f10.1]. Esta observación nos permite escribir el equivalente tridimensional a la función de onda (2.2.1) como

$$\label{e10.5} \psi({\bf r},t)=A\,\cos({\bf k}\cdot{\bf r}-\omega\,t+\varphi),$$

donde el vector constante${\bf k} = (k_x,\,k_y,\,k_z)=k\,{\bf n}$ se llama el vector de ondas. La onda representada anteriormente se denomina convencionalmente onda plana tridimensional. Es tridimensional porque su función de onda,$\psi({\bf r},t)$, depende de las tres coordenadas cartesianas. Además, es una onda plana debido a que los máximos de onda se encuentran en

$${\bf k}\cdot{\bf r} -\omega\,t +\varphi= j\,2\pi,$$ o $${\bf n}\cdot{\bf r} = (j-\varphi/2\pi)\,\lambda + v\,t,$$ donde$\lambda=2\pi/k$, y$v=\omega/k$. Obsérvese que el número de onda$k$,, es la magnitud del oleaje,${\bf k}$: es decir,$k\equiv |{\bf k}|$. Se deduce, en comparación con la Ecuación (2.2.4), que los máximos de onda consisten en una serie de planos paralelos, normales al oleaje, que están igualmente espaciados a una distancia$\lambda$, y que se propagan en la${\bf k}$ dirección a la velocidad$v$. Ver Figura [f10.2]. De ahí que la dirección del evector de ondas especifique la dirección de propagación de la onda, mientras que su magnitud determina el número de onda, y$k$, por lo tanto, la longitud de onda,$\lambda=2\pi/k$.

Figura 2: Máximos de onda asociados a una onda plana tridimensional.

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)