2.2: Avión-ondas

Como acabamos de ver, una onda de amplitud\(A\), número de onda\(k\)\(\omega\), frecuencia angular y ángulo de fase\(\varphi\), que se propaga en la\(x\) dirección positiva, se representa por la siguiente función de onda:

\[\label{e10.1} \psi(x,t)=A\,\cos(k\,x-\omega\,t+\varphi).\]Este tipo de onda se denomina convencionalmente onda plana unidimensional. Es unidimensional porque su función de onda asociada solo depende de la coordenada cartesiana única,\(x\). Además, es una onda plana debido a que los máximos de onda, que se encuentran en

\[\label{e10.2} k\,x-\omega\,t+\varphi = j\,2\pi,\]donde\(j\) es un entero, consiste en una serie de planos paralelos, normales al\(x\) eje, que están igualmente espaciados a una distancia\(\lambda=2\pi/k\), y se propagan a lo largo del\(x\) eje positivo a la velocidad\(v=\omega/k\). Estas conclusiones siguen porque la Ecuación (2.2.2) se puede reescribir en la forma

\[\label{e10.3} x= d,\]donde\(d=(j-\varphi/2\pi)\,\lambda + v\,t\). Además, como es bien sabido, la Ecuación (2.2.3) es la ecuación de un plano, normal al\(x\) eje, cuya distancia de aproximación más cercana al origen es\(d\).

Figura 1: La solución de\(\begin{equation}\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}=d\end{equation}\) es un plano.

La ecuación anterior también se puede escribir en forma libre de coordenadas

\[\label{e10.4} {\bf n}\cdot{\bf r} = d,\]donde\({\bf n} = (1,\,0,\,0)\) es un vector unitario dirigido a lo largo del\(x\) eje positivo, y\({\bf r}=(x,\,y,\,z)\) representa el desplazamiento vectorial de un punto general desde el origen. Debido a que no hay nada especial en la\(x\) -dirección, se deduce que si\({\bf n}\) se reinterpreta como un vector unitario apuntando en una dirección arbitraria entonces la Ecuación (2.2.4) puede reinterpretarse como la ecuación general de un plano. Como antes, el plano es normal a\({\bf n}\), y su distancia de aproximación más cercana al origen es\(d\). Ver Figura [f10.1]. Esta observación nos permite escribir el equivalente tridimensional a la función de onda (2.2.1) como

\[\label{e10.5} \psi({\bf r},t)=A\,\cos({\bf k}\cdot{\bf r}-\omega\,t+\varphi),\]

donde el vector constante\({\bf k} = (k_x,\,k_y,\,k_z)=k\,{\bf n}\) se llama el vector de ondas. La onda representada anteriormente se denomina convencionalmente onda plana tridimensional. Es tridimensional porque su función de onda,\(\psi({\bf r},t)\), depende de las tres coordenadas cartesianas. Además, es una onda plana debido a que los máximos de onda se encuentran en\[{\bf k}\cdot{\bf r} -\omega\,t +\varphi= j\,2\pi,\] o\[{\bf n}\cdot{\bf r} = (j-\varphi/2\pi)\,\lambda + v\,t,\] donde\(\lambda=2\pi/k\), y\(v=\omega/k\). Obsérvese que el número de onda\(k\),, es la magnitud del oleaje,\({\bf k}\): es decir,\(k\equiv |{\bf k}|\). Se deduce, en comparación con la Ecuación (2.2.4), que los máximos de onda consisten en una serie de planos paralelos, normales al oleaje, que están igualmente espaciados a una distancia\(\lambda\), y que se propagan en la\({\bf k}\) dirección a la velocidad\(v\). Ver Figura [f10.2]. De ahí que la dirección del evector de ondas especifique la dirección de propagación de la onda, mientras que su magnitud determina el número de onda, y\(k\), por lo tanto, la longitud de onda,\(\lambda=2\pi/k\).

Figura 2: Máximos de onda asociados a una onda plana tridimensional.

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)